Kvadratni koren

Da li ste znali da je oznaka za matematički koren, nastala od prvog slova latinske reči radix (koren) r → √



Kada se malo slovo pisano `r` napiše tako da mu se onaj krivudavi deo (krajnji desni) ispravi i razvuče, dobija se izgled kao na slici.

Oznaka (simbol) za matematički koren je prvi put upotrebljena još u 16. veku.

Zbog njegovog specifičnog izgleda u programiranju oznaka za koren, odnosno kvadratni koren je sqrt.

Kvadratni koren je unarna matematička operacija inverzna kvadriranju. Oznaka ove operacije nad nekim brojem x je:

\sqrt x, i čita se kao „koren od x“.

Potpuno ispravno bi bilo pisati \sqrt[2]{x}, i izgovarati „kvadratni koren od x“, međutim to se ređe radi iz razloga što se najveći broj slučajeva pomena korena odnosi na kvadratni koren, pa se ustalio kraći izgovor i jednostavniji zapis.

Definicija

Ova operacija se definiše sledećom relacijom:

Kvadratni koren broja x je nenegativan broj koji pomnožen sam sobom daje x.

Na primer, \sqrt 9 = 3 pošto je 3^2 = 3\cdot 3 = 9\,.

Primer pokazuje kako se kvadratni koren pojavljuje prilikom rešenjavanja kvadratne jednačine x^2 = 9\,.

Uopšteno kvadratna jednačina ima oblik ax^2 + bx + c = 0\, i za njeno rešavanje je neophodna primena kvadratnog koren

Osobine

Glavna vrednost kvadratnog korena je funkcija f(x) = \sqrt{x} koja preslikava skup nenegativnih realnih brojeva \mathbb{R}^+ \cup \{0\} na samog sebe.

Kvadratni koren prirodnog broja je često iracionalan broj tj. broj koga nije moguće zapisati u obliku razlomka. Na primer \sqrt 2\, se ne može zapisati kao m/n, gde su n i m prirodni brojevi. Međutim, toliko tačno iznosi dužina dijagonale kvadrata čija je dužina stranice jednaka 1.

Otkriće činjenice da je \sqrt 2\, iracionalan („van pameti“) se pripisuje Hipasu, Pitagorinom učeniku.

Oznaka, simbol, za kvadratni koren (\sqrt{\ } ) je prvi put upotrebljena u 16. veku. Skoro je sigurno da je proizašlo iz prilagođenog ispisa malog latiničnog slova r, što je skraćenica od lat: radix što znači koren.

Argument i vrednost

Da bi rezultat korenovanja bio realan broj, argument operacije x mora biti nenegativan broj. Postoje dve vrednosti za kvadratni koren broja većeg od nule i te dve vrednosti su kvadratni koren i negativni kvadratni koren (češće obeležavani sa plusom i minusom). Primer \sqrt 9 = 3 (nekad se ovo naziva glavna vrednost korena), ali takođe važi i \sqrt 9 = -3 što se neki put beleži kao \sqrt 9 = \pm 3 i time u jednom iskazu označavaju oba rezultata.

Za negativne brojeve nije moguće naći realan kvadratni koren. Zato je uveden pojam imaginarnog i kompleksnog broja, pa je matematički moguće izračunati odnosno predstaviti i takve brojeve.

\sqrt{-1} = i
\sqrt{-25} = \sqrt{-1 \cdot 25} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{25} = 5i

Kako izracunati kvadratni koren nekog broja?

Evo primer:

Koren broja 59673,55

5.96.73,55.00=244,28
- 4
196:44
- 176
2073:484
- 1936
13755:4882
- 9764
399100:48828
- 390624
8476...

Prvo treba grupisati po dve cifre, levo i desno, od decimalnog zareza. Zatim, izvaditi koren iz prve cifre sleva (5),ako je taj koren ceo broj.Ako nije, naci prvi manji broj za koji to vazi(4).Koren iz 4 je 2,2 pisemo
u rezultat. 4 oduzimamo od 5 i 1 razlike potpisujemo ispod.Spustamo sledece dve cifre(96),imamo broj
196,njega treba podeliti sa brojem cija je prva cifra dvostruka vrednost cifre iz rezultata(2*2=4), a druga
cifra takva, kada se dopise prvoj i tim brojem podeli 196 daje minimalan ostatak.To je opet 4(slucajnost).
4 pisemo u rezultat i mnozimo sa 44, dobijamo 176,oduzimamo od 196,dobijamo razliku 20 i potpisujemo. Spustamo sledece
dve cifre(73),i to je onda broj 2073.Njega treba podeliti sa 24*2 (48 ) i dopisati jos jednu cifru( 4)(pisemo je i u rezultat) tako da isti uslov vazi kao i za prvo deljenje.Tako redom, 244*2=488 dopisati 2 (4882) i sa njom pomnoziti taj broj, oduzeti....Voditi racuna o decimalnom zarezu.


2. primer:

koren broja 6743,1
67.43,10=82,1
64
343:162
324
1910:1641
1641
269....

Postupak kojim se ručno vadi kvadratni koren iz datog broja

1. Broj pod korenom podeli u grupe od po dve cifre, počinjući od decimalnog zareza, i idući na obe strane. Decimalni zarez stavi i iznad korena u ravni sa originalnim.



2. Počinješ sa prvom grupom koja ima jednu ili dve cifre. Nađi najveći broj čiji je kvadrat manji ili jednak tom broju. Iznad korena u ravni te prve grupe upiši nađeni broj a njegov kvadrat ispod prve grupe. Podvuci i oduzmi, dobijeni rezultat upiši ispod crte.



3. Spusti sledeću grupu ispod nacrtane linije.Tako dobijaš trenutni ostatak. Nacrtaj vertikalnu liniju sa leve strane tako dobijenog broja i sa njene leve strane upiši 20 puta broj koji si upisao iznad korena, znak plus, praznu liniju (koju ćeš popuniti u četvrtom koraku), znak jednakosti i još jednu praznu liniju za odgovor.



4. Nađi najveći broj D koji bi se mogao smestiti na liniju između znakova ‘+’ i ‘=’ tako da broj dobijen kao zbir 20+D pomnožen brojem D daje rezultat koji je manji ili jednak trenutnom ostatku.



(Ako si loše izabrao pa je broj D veći nego što treba, ostatak koji dobiješ kada taj broj oduzmeš od trenutnog ostatka će biti negativan. Ako je broj D manji nego što treba da bude, dobijeni ostatak će biti veći od broja sa leve strane vertikalne linije.)

Taj broj D upiši iznad korena u ravni sa poslednjom grupom cifara koje su bile spuštene dole, i upiši ga na liniju iz prethodnog koraka. Izračunaj dobijeni izraz i upiši ga na liniju posle znaka jednako. Pomnoži tako dobijeni broj sa D, upiši rezultat ispod trenutnog ostatka, podvuci i oduzmi tako da dobiješ novi trenutni ostatak.

5. Ako je trenutni odgovor (broj iznad korena) dovoljno precizan, možeš da se zaustaviš, ako nije, vrati se na treći korak.

(opet) 3.



(opet) 4.



(opet) 3.



(opet) 4.



(opet) 3.



(opet) 4.



Ovde stajemo. Dobili smo da je kvadratni koren iz 113 na tri decimale jednak 10,630.

U postupku se koristi jednakost



ustvari



Ili, još detaljnije: N je broj koji smo napravili od prve grupe cifara, a je celobrojni deo kvadratnog korena iz N koji smo već odredili.



je trenutni celobrojni ostatak. Spuštanjem sledeće grupe od dve cifre i dopisivanjem na trenutni ostatak, praktično se taj ostatak množi sa sto i dodaje mu se n čime se dobija



20*a je udvostručavanje prethodnog odgovora i dodavanje decimalnog mesta, a "+b" i "b*" predstavljaju novu cifru koju dodaješ i kojom množiš. Stari kvadratni koren je bio a, a novi je 10*a + b, dobijen dodavanjem cifre b na stari kvadratni koren. Onda je novi celobrojni ostatak



Cifra b je izabrana tako da je ostatak pozitivan i što je moguće manji. Na taj način obezbeđujemo da u svakom koraku b bude samo jedna cifra. Zatim zamenimo N sa 100*N+n, i a sa 10*a+b, i sve ponovimo.


jocinavirtuelnaucionica.

IZRAČUNAVANJE KVADRATNOG KORENA

Cifre kojima je dati broj zapisan podelimo u parove (po dva) i levo i desno od zapete.Ukoliko je potrebno (zbog podele na odgovarajuce parove), datom broju zdesna i sleva dopisujemo potreban broj nula.

Za primer ćemo uzeti broj 5495,2569

Prvi par cifara sleva čitamo kao dvocifreni broj (54) i tražimo najveći jednocifreni broj čiji kvadrat nije veći od njega. U našem slučaju je to 7 (7² = 49<54,dok je 8²=64>54). Razlici brojeva 54 i 49 dopisujemo naredni par cifara i dobijamo 595.
(√5495,2569 = 7)

Naredni korak je sličan svakom sledećem. Tako, prvo broj 7 množimo sa 2 (7×2 = 14) i pitamo se: ,,koju cifru treba dopisati broju 14, tako da dobijeni trocifreni broj pomnožen sa dopisanim jednocifrenim brojem nije veći od 595?” Lako otkrivamo da je tražena cifra 4 (144×4 = 576<595, dok je 144×5 = 725>595). Dalje , razlici broja 595 i proizvoda 144×4 dopisujemo sledeći par cifara,25. Kako smo “spustili” cifre koje se nalaze iza decimalne zapete u datom broju, decimalnu zapetu upisujemo i u zapisu broja za kojim tragamo (74, …)
(√5495,2569 = 74,

Zatim se pitamo: “Koju najveću cifru treba dopisati broju 148 (148 = 74×2) tako da dobijeni četvorocifren broj pomnožen dopisanim jednocifrenim brojem nije veći od 1925?” Odgovor je: “Cifru 1.” Dakle, rezultat je oblika 74,1… Zatim razlici broja 1925 i proizvoda 1418 dopisujemo narednu grupu cifara i dobijamo 44 469.
√5495,2569 = 74,1

Ponovo (zanemarujuci decimalnu zapetu) broj 741 množimo sa 2 (741 x 2 = 1482) i rešavamo odgovarajući “rebus”: 1482_ x _ ≤ 44 469. Vidimo da na prazna mesta treba upisati 3. Ovoga puta odgovarajuća razlika je jednaka nuli i više nema cifara koje treba “spustiti”, pa se postupak završava. Rezultat je 74,13. Proverite da je 74,13² = 5495,2569.
(√5495,2569 = 74,13)