Teorija haosa

Teorija haosa

Haos (od starogrčke reči χάος) je jedna od najstarijih zamisli čovečanstva, koja je tokom vremena primala mnoga značenja: od antičke Grčke, Vavilona i Judaizma, gde se koristila za opisivanje početnog, neuređenog stanja materije pre stvaranja kosmosa, do neformalnog govora u kojem i danas označava nepredvidivo stanje stvari. Ovaj pojam dobija u drugoj polovini XX veka još jedno, potpuno novo značenje u domenu nauke, čije pojašnjenje predstavlja svrhu ovog članka, za koji se nadam da neće predstavljati jedini koji će se dotaći ove fascinantne teme.

Piše: Stevan Radanović



Ričard Fejnman, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku 1965. godine, je jednom prilikom izjavio: „Fizičari vole da zamišljaju kako je dovoljno reći: ovo su uslovi, šta će se sledeće desiti?“ i zaista, tokom XVIII i XIX veka Njutnovi zakoni su se pokazali izuzetno uspešnim u preciznom opisivanju veoma raznovrsnih sistema: od planeta koje kruže oko Sunca, preko oblika putanja ispaljenih projektila, do predviđanja okeanskih plima i oseka mesecima unapred, da pomenemo samo neke, te je verovanje da je svemir potpuno determinističan i da se ponaša kao jedan veliki časovnik bilo opšte prihvaćeno, kao i to da će jednog dana sve jednačine koje „regulišu“ svemir biti poznate, pa bismo (teoretski posmatrano) mogli da predvidimo budućnost, prethodno saznavši trenutno stanje celog svemira.

Razimevanje sveta je uzdrmano početkom XX veka kada je otkriće kvantne mehanike po prvi put pokazalo da se najmanje čestice ne ponašaju po bilo kojem do tada poznatom zakonu, već da su potrebni novi zakoni za njihovo opisivanje, bazirani na verovatnoći, a ne na determinizmu, ali se za ostale sisteme i dalje verovalo da su predvidivi.

Pedesete i šezdesete godine XX veka bile su godine ogromnog optimizma u pogledu predskazivanja vremenskih prilika. Vreme je deterministički sistem i bile su poznate sve jednačine koje ga regulišu, od kretanja oblaka do promene toplote. Problem je bio što su te jednačine spadale u grupu nelinearnih diferencijalnih jednačina, sa kojima se inače stalno susrećemo u fizici, a koje ne mogu biti rešene koristeći elegantno matematičko rezonovanje, već im pristupamo numeričkom analizom, procesom koji fizičari često nazivaju „metod sirove snage“ (brute force), budući da podrazumeva ponavljanje istih, jednostavnih računskih operacija milionima puta, svaki put se približavajući pravom rešenju, ali ga, u opštem slučaju, nikad ne dostižući u potpunosti.

Naravno, teško da bi se moglo očekivati od čoveka da u razumnom vremenu obavi bez greške toliki broj operacija, ali su prvi kompjuteri omogućili prelazak te barijere. Ono što je otkriveno kao rezultat ovih istraživanja je predstavljalo kraj nekih od osnovnih pretpostavki o tome kako svemir funkcioniše i rođenje novog ogranka nauke.

Leptirov let vs. vremenska prognoza

"Dovoljno je da leptir u Evropi zaleprša svojim krilima i da to kroz tri dana izazove tornado u Severnoj Americi"

Meteorolog Edvard Lorenc je početkom šezdesetih godina napisao krajnje pojednostavljen kompjuterski model vremenskih prilika. Lorencov model nije obuhvatao oblake, kišu ili promenu godišnjih doba, već je za cilj imao samo da što vernije simulira kretanje vazduha kroz atmosferu, a to je uspeo toliko maestralno da mu je kancelarija konstantno bila puna drugih meteorologa i postdiplomaca, koji su se okupljali pokušavajući da predvide i kladeći se na koju će stranu strujanje vazduha da skrene, budući da se unutar modela ništa nije dešavalo na identičan način dvaput, a opet se činilo da se može naslutiti neka vrsta strukture, obrazaca koji se u atmosferi pojavljuju, a zatim nestaju.


Lorencu je jednog dana zatrebao detaljniji pregled jedne od već izvršenih sekvenci, te se odlučio za prečicu: kao početne uslove simulacije je ubacio podatke iz sredine jednog od prethodnih izvršavanja. Pretpostavivši da će dobiti isti rezultat simulacije, budući da je startovala od istih podataka, bio je krajnje iznenađen kad se vratio sa pauze za kafu i ustanovio da se dva ispisa, prethodnii i novi, brzo razilaze, a zatim i toliko razlikuju da uopšte ne deluju kao da su „pošli“ iz iste tačke.

Pošto se uverio da nije načinio grešku u prekucavanju brojeva i da računar nije bio pokvaren, pred njegovim očima je zablistala istina: računar u svojoj memoriji čuva podatke nekoliko mesta iza decimalnog zareza preciznije nego što ih ispisuje, a Lorenc je za polazne podatke izvršavanja simulacije preuzeo ispisa prethodnog.

Razlike u pritisku, brzini vetra, temperaturi i drugim parametrima između prethodnog i novog izvršavanja na samom početku su bile manje od jednog promila – toliko male da nijedna oprema koja se koristi za realno merenjenje vremenskih prilika ne bi bila u stanju da ih uoči; a upravo te slučajne i infinitezimalne razlike menjaju vremenske prilike do neprepoznatljivosti par meseci kasnije. Vreme može biti teoretski determinističko, ali praktično je potpuno nepredvidivo na duže od par dana. Dugotrajna vremenska prognoza je oduvek bila osuđena na propast, a razlog za to je povratna sprega.

Jedan od najupečatljivijih primera povratne sprege predstavlja mikrofonija, prodoran zvuk koji možete čuti ako postavite zvučnik preblizu mikrofona, budući da i najtiši zvuk iz zvučnika koji mikrofon „uhvati“ biva preko pojačala prosleđen zvučniku, koji ga ovaj put emituje glasnije, pa ga i mikrofon prosleđuje pojačalu glasnije, i tako u krug, sve dok ne dobijemo već pomenutu mikrofoniju. Postoji mnogo ovakvih povratnih petlji u sistemu vremenskih prilika. Na primer, tokom sunčanog dana u Engleskoj, zemlja se zagreva, a zatim ona zagreva i okolni vazduh, koji se usled toga širi, stvarajući zonu visokog vazdušnog pritiska iznad Engleske, koja skreće oblake koji dolaze sa Atlantika prema kontinentalnoj Evropi, te Engleska ima više sunčanih dana.

Teoretski, kada bismo znali trenutno stanje vremenskih prilika sa beskonačnom preciznošću u svakoj tački Zemljine atmosfere, mogli bismo da damo potpuno tačnu vremensku prognozu, ali nas ograničava to što u svakom naučnom merenju postoje nepreciznosti i što ne možemo staviti senzore u svaku tačku atmosfere, jer bi nam za taj poduhvat trebao beskonačan broj beskonačno malih senzora. U sistemu sa povratnom spregom, malene razlike mogu da rastu tokom vremena, tako da mogu da izazovu potpuno drugačiju dinamiku kompletnog sistema. Iz tog razloga, vreme je toliko nepredvidivo na duže periode od nedelju dana, da bi moglo biti i nasumično i to ne bi promenilo stvari iz perspetive meteorologa.


Shodno tome, jedna od definicija haosa je: naizgled nasumično ponašanje u determinističkom sistemu, koje se pojavljuje usled osetljive zavisnosti od inicijalnih uslova; a sama pojava osetljive zavisnosti od inicijalnih uslova je dobila naziv „efekat leptira“ po slikovitom primeru laptira koji jednim zamahom svojih krila može da izazove (ili spreči) uragan mesec dana kasnije na drugoj strani Zemlje. (prim. a - Osetljiva zavisnost od inicijalnih uslova nije jedini kriterijum koji deterministički sistem mora zadovoljiti da bi bio haotičan, ali smatram da bi izlaganje preostalih učinilo članak bespotrebno preopširnim.) Efekat leptira nije bila sasvim nova i čisto naučna ideja, budući da nije bilo nepoznato da se u lancu događaja može dogoditi da mali, gotovo beznačajni faktor dovede do potpuno drugačijih dešavanja od očekivanih. Sledi primer iz engleskog srednjevekovnog folklora:

Zbog nedostatka jednog eksera, otpala je potkovica,

zbog nedostatka potkovice, izgubljen je konj,

zbog gubitka konja, izgubljen je i jahač,

zbog nedostatka tog jahača, izgubljena je bitka,

zbog te izgubljene bitke pala je kraljevina!

Na ovom mestu treba odgovoriti na pitanje zašto su najveći svetski umovi do tada izbegavali detaljno razmatranje sistema sa povratnom spregom, kada vidimo da takvi sistemi ispoljavaju izuzetno zanimljivo ponašanje? Odgovor je da nisu bili u stanju da se izbore sa povratnim spregama, budući da one unose nelinearnost u jednačine sistema, koje time postaju nerešive bez kompjutera. Ako posmatramo linearne jednačine, mala razlika u početnom stanju uzrokuje malu razliku koju možemo proračunati u rezultatu koji tražimo, te, uz približno znanje o trenutnom stanju sistema, možemo da napravimo zadovoljavajuću predikciju o tome kako će se sistem ponašati u budućnosti, ili kao što je jedan teoretičar voleo da govori svojim studentima: „Bazična ideja nauke Zapada sastoji se u tome da ne moraš uzeti u obzir pad jednog lista sa drveta na nekoj planeti u nekoj drugoj galaksiji ako želiš da objasniš kretanje kugle na bilijarskom stolu negde na Zemlji.“

Haos svuda oko nas

Nauka je tih godina bila toliko podeljena između oblasti da su prolazile godine u kojima su mnogi fizičari, astronomi i biolozi sve upornije tragali za nečim nalik haosu, neki ga čak sopstvenim snagama otkrivali iz početka, a da nikom nije padalo na pamet da ga potraži u Žurnalu atmosferskih nauka, gde je Lorenc 1963. objavio rad o svojim nalazima.


Teorija haosa je od tada primenjena u mnogim naučnim disciplinama, a haotična ponašanja su uočena u raznovrsnim sistemima uključujući: električna kola, lasere, oscilatorne hemijske reakcije, turbulenciju u fluidima, satelite u Sunčevom sistemu, problem n tela (n > 2), promene u brojnosti životinjskih populacija, dinamiku akcionog potencijala neurona, šum u telefonskim žicama, cene pamuka na berzi, rad srca pred kraj života, dimu cigarete itd.


/astronomija.co.rsorder.ph.utexas.edu/chaos

Edvard Lorenc (Edward Lorenz) je idejni tvorac teorije haosa i efekta leptira. Lorenc je rođen 1917. godine u Hartfrodu. Diplomirao je matematiku 1940. na univerzitetu Harvard, a 1948. je doktorirao na MIT-u iz oblasti meteorologije. Preminuo je 2008. godine, u 91. godini.


Lorenc je utvrdio da i vrlo male razlike u jednom dinamičkom sistemu, poput atmosfere, mogu da izazovu ogromne promene. Govoreći o prirodi klime, Lorenc je u studiji iz 1972. godine efekat leptira objasnio na sledeći način: Ako leptir mahne krilima u Brazilu, to može da izazove tornado u Teksasu. U meteorologiji, prema Lorencu, praktično je izvodljivo da se, sa dovoljnom tačnošću, predvide meteorološke prilike samo u naredne tri sedmice.


TEORIJA HAOSA

U matematici, teorija haosa opisuje ponašanje određenih dinamičkih sistema (sistema čije stanje evoluira tokom vremena), koji mogu da ispolje dinamiku koja je veoma osetljiva na početne uslove (popularno, efekat leptira). Kao rezultat ove osetljivosti, koja se manifestuje eksponencijalnim rastom perturbacija u početnim uslovima, ponašanje haotičnih sistema izgleda slučajno. Ovo se događa čak i ako su ti sistemi deterministički, što znači da je njihova dalja dinamika u potpunosti određena početnim uslovima, bez slučajnih faktora. Ovo ponašanje je poznato kao deterministički haos, ili jednostavno haos.

Haotično ponašanje se takođe javlja u prirodnim sistemima, kao što su meteorološke prilike. Ono se može objasniti haos-teoretskom analizom matematičkog modela takvog sistema, koji oslikava zakone fizike koji su relevantni za odgovarajući prirodni sistem.

Efekat leptira (fizika)

Efekat leptira je termin korišten u teoriji haosa, koji opisuje kako male varijacije mogu da utiču na ogromne i kompleksne sisteme kao što je vreme (meteorologija).

Edvard Lorenc je prvi vršio eksperimente vezane za haos. On je 1961. godine koristio numerički računarski model da ponovo obavi vremensku prognozu. Umesto originalnih .506127, ukucao je .506 misleći da će dobiti približan rezultat, međutim, računar je prikazao rezultat, koji nije bio ni blizu originalnom. Ustanovljeno je da čak i faktori koji su do tada smatrani nevažnim, mogu da utiču na vreme, koje će nakon nekoliko sedmica zahvatiti drugi kraj sveta. Metafora koja se upotrebljava za te nevažne faktore je „mahanje krila leptira“, zbog toga ova pojava dobila ime „efekat leptira“.

Edvard Lorenc je bio jedan od prvih koji je razvio numeričke modele atmosfere i za vremensku prognozu koristio računar. Dokazao je unutrašnju nemogućnost dugoročnih prognoza vremena i pomagao da se zasnuje proučavanje haosa. Haos je definisan kao nepravilno, nepredvidljivo ponašanje determinističkih nelinearnih dinamičkih sistema.

Lorenc je primetio da male razlike u početnim uslovima njegovih numeričkih modela atmosfere mogu, nakon relativno kratkog vremena, da dovedu do radikalno različitih ishoda. Shvatio je da su diferencijalne jednačine (jednačina u kojoj učestvuju promenljive i njihovi izvodi) koje se koriste u opisu ponašanja atmosfere, budući determističke, takođe veoma zavisne od početnih uslova i da se time upotrebljivost praktičkih vremenskih prognoza, ograničava na oko jednu sedmicu.

Lorencov antraktor

Leptirov efekat uz ilustrativan primer leptirovih krila, govori o osetljivosti dinamičkih sistema sa povratnom spregom (dinamički sistem je svaki sistem čije se stanje sa vremenom menja). Takvi sistemi tokom svog kretanja prelaze u stanje haosa čak i ako su uslovi pre početka kretanja malo drugačiji. Efekat leptira najbolje odlikuje klimatske sisteme na Zemlji, koji su izuzetno osetljivi na početne uslove.

Lorenc je nastavio da istražuje druge primere haotičnog ponašanja, utvrdivši da čak i vrlo prosti deterministički sistemi mogu pokazivati haotično ponašanje. Da bi ilustrovao haotičnu dinamiku takvih sistema, Lorenc je modelizovao takozvani „Lorencov atraktor“, trodimenzionalnu krivu u kojoj položaj tačke pretstavlja pokret dinamičkog sistema u faznom prostoru. Kriva pokazuje kako kretanje sistema neperiodično osciluje u ustaljenom položaju.



lasinora.