Teorija verovatnoće

Teorija verovatnoće je grana matematike koja se bavi analizom slučajnih fenomena. Ključni objekti koji se razmatraju u teoriji verovatnoće su slučajne promenljive, stohastički procesi, i događaji: matematičke apstrakcije nedeterminističkih događaja ili merljivih količina. Iako je bacanje novčića ili numerisane kocke slučajan događaj, ako se ponovi mnogo puta, niz ovih slučajnih događaja će ispoljiti određene statističke pravilnosti, koje se mogu proučavati i predviđati. Dve ključne matematičke teoreme koje opisuju ovakvo ponašanje su zakon velikih brojeva i centralna granična teorema.

Kao matematička osnova statistike, teorija verovatnoće je od velike važnosti za mnoge ljudske aktivnosti koje uključuju kvantitativnu analizu velikih skupova podataka. Metode teorije verovatnoće se takođe primenjuju i na opisivanje kompleksnih sistema na osnovu samo delimičnog poznavanja njihovog stanja, kao u statističkoj mehanici. Veliko otkriće u oblasti fizike u 20. veku je bila probabilistička priroda fizičkih fenomena na atomskom nivou, koju opisuje kvantna mehanika.


Još je u sedamnaestom veku Galileo napisao neke ideje o igrama sa kockicama. To je dovelo do rasprave i radova koji su oblikovali ranije delove teorije verovatnoće. O tada je tu bilo raznih saradnika na teoriji verovatnoće , ali to je još uvek prilično slabo razumljivo područje matematike.

Pre nego što je teorija verovatnoće formirana Kockanje je bilo popularno. Kockari su bili dovoljno lukavi da shvate jednostavne zakone verovatnoće pošto su bili posmatrači iz prve ruke. Prilika je bila neograničeno u iskorištavaju često složenih i ponekad naizgled kontradiktornih zakona verovatnoće.

wiki/probabilitytheory.info

Jedna od bitnih stvari je da su s obzirom na verovatnoću dva ili više događa povezani i vi se trebate odlučiti da li su to nezavisni ili povezani događaji.

Primeri: -

Međusobno isključeni protiv nezavisni događaji

Nije neuobičajeno da se ljudi zbune pri konceptu međusobno isključivih i nezavisnih događaja.

Definicija međusobno isključivih događaja

Ako se događaj dogodi, onda događaj B ne može, ili obrnuto. U dva događaja "Padala je kiša u utorak" i "Nije bilo kiše u utorak" su međusobno isključivi događaji. Kod izračunavanja verovatnoće za ekskluzivne događaje dodajete veroatnoću.

Nezavisni događaji

Ishod događaja A, nema nikakvog uticaja na ishod događaja B. kao što su "padala je kiša u utorak" i "Moja stolica se slomila na poslu". Kod izračunavanja verojatnoće za nezavisne događaje, vi dodajete još verovatnoća. Jer koje su šanse da se oba događaja dogode imajući u vidu da su ta dva događaja međusobno ne povezana.

Biti ili ne biti .....?
Dakle, ako i B su međusobno isključivi, oni ne mogu biti nezavisni. Ako su A i B su nezavisni, oni ne mogu biti međusobno isključivi. Jednostavno, zar ne? Da li je?

Ako su događaji koje smo izabrali na primer, "padala je danas kiša" i 2"Ostavio sam kišobran kod kuće ", oni nisu nužno međusobno isključivi, ali oni verojatno nisu ni nezavisni, jer čovek bi pomislio da će biti manje verojatno da ćeš zaboraviti svoj kišobran kod kuće kada pada kiša.

U teoriji verovatnoće, događaj je skup ishoda (podskup prostora elementarnih ishoda) kome je dodeljena verovatnoće. Kada je prostor elementarnih ishoda konačan, svaki njegov podskup je događaj (to jest, svi elementi partitivnog skupa prostora elementarnih ishoda su definisani kao događaji). Međutim, ovaj pristup nije dobar u slučajevima kada je prostor elementarnih ishoda beskonačan, najznačajnije, kada je ishod realan broj. Zato je pri definisanju prostora verovatnoće moguće, a često i neophodno isključiti određene podskupe prostora elementarnih ishoda iz skupa događaja.

Jednostavan primer

Ako uzmemo standardan špil od 52 karte za igranje, i izvlačimo jednu kartu iz špila, prostor elementarnih ishoda je skup od 52 člana, kod koga je svaka karta mogući ishod. Međutim, događaj je svaki podskup prostora elementarnih ishoda, uključujući svaki pojedinačni element, kojih iima 52, prazan skup (koji po definiciji ima verovatnoću nula) i ceo skup od 52 karte (koji po definiciji ima verovatnoću jedan). Ostali događaji su pravi podskupovi prostora elementarnih ishoda koji sadrži višestruke elemente. Na primer, među mogućim događajima su:



Izvučena je crvena i crna karta istovremeno, isključujući džokera (0 elemenata),
Izvučena karta je 5 srce (1 element),
Izvučen je kralj (4 elementa),
Izvučena je karta sa slikom (12 elemenata),
Izvučen je pik (13 elemenata),
Izvučena je crvena karta ili karta sa slikom (32 elementa),
Izvučena je karta (52 elementa).

Pošto su svi događaji skupovi, obično se i zapisuju kao skupovi (na primer {1, 2, 3}), a grafički se predstavljaju pomoću Venovih dijagrama. Venovi dijagrami su posebno zgodni za predstavljanje događaja, jer se verovatnoća događaja može posmatrati kao odnos površine koja na dijagramu predstavlja događaj i površine prostora elementarnih ishoda. (Zaista, sve aksiome verovatnoće, i definicija uslovne verovatnoće se mogu predstaviti na ovaj način.)

kad smo vec kod karata, koja je verovatnoca se desi nesto ovakvo?

ПРОБЛЕМ
МОНТИЈА ХОЛА

Зашто је један водитељ телевизијског квиза постао познато име у уџбеницима математике

Замислите да сте учесник у телевизијском квизу који има шансу да освоји вредну награду, на пример ауто. Једино што треба да урадите јесте да погодите иза којих од троја врата се он налази. Изаберете једна врата, рецимо врата 1, и чекате да видите јесте ли имали среће...
Међутим, водитељ квиза вам не открива одмах да ли сте начинили прави избор, већ отвара врата 3 и показује да иза њих није награда. Затим вам водитељ поставља питање:
„Желите ли можда да се предомислите и да изаберете врата 2?” Да ли бисте се предомислили или бисте се држали свог првобитног избора?
Одговор на ово питање није тако једноставан и данас је извор забуне за многе људе. Заправо ради се о математичкој загонетки из теорије вероватноће чије решавање показује како наша природна интуиција може лако да нас превари, и како често нема утемељење у стварној логици. Интуитивно, човек сматра да му је ионако свеједно за која ће се врата определити. Међутим, тачан одговор на горе изнето питање је: увек се треба одлучити за промену првобитног избора јер се на тај начин повећавају шансе за добитак!

Овај математички проблем поставио је Стив Селвин и послао га је часопису „Амерички статистичар” 1975. године. Назвао га је „Проблем Монтија Хола” јер га је подстакао амерички ТВ квиз из шездесетих година „Договоримо се”, чији је водитељ био Монти Хол, у коме се, иначе, учеснику није нудила могућност промене избора. Тако је Монти, уместо избледеле славе и сећања све мањег броја његових некадашњих, данас остарелих гледалаца, претворен у легенду у потпуно другачијем кругу људи, састављеним од математичара, љубитеља логичких загонетки, психолога и осталих „гикова”.



Играч на срећу може да у горе приказаној ситуацији побољша сопствене изгледе да из телевизијског студија изађе са новим аутом уколико примени основно знање из математичке теорије вероватноће, стечено у средњој школи. Када је учесник квиза суочен са избором врата 1, 2, или 3, вероватноћа да ће изабрати врата иза којих је награда износи 1/3 за било која изабрана врата. Ако је, нпр. изабрао врата 1, шанса да се иза њих налази ауто износи 1/3, а да се иза њих не налази награда износи 2/3, што је исто што и шанса да се награда налази иза врата 2 или врата 3 (1/3 + 1/3 = 2/3). Затим Монти, који зна где је ауто, отвара рецимо врата 3 да покаже да иза њих није награда. Монти пита потенцијалног срећног добитника жели ли да се предомисли и да сада изабере врата 2. У овој прилици такмичар треба увек да се определи за врата 2, а не да се задржи на свом првобитном избору, зато што је вероватноћа да се награда налази иза врата 2 када је Монти открио да није иза врата 3, 2/3, док вероватноћа да је иза врата 1 остаје 1/3.
Променом избора у датим околностима такмичар има два пута већу шансу за освајање аута. Забуна у глави учесника квиза може да настане уколико он помисли да сада бира између врата 1 и врата 2 и да му је шанса у оба случаја по 1/2, то јест да му је свеједно хоће ли или неће променити избор. Међутим, учесник све време бира између троја врата, а Монти му отварањем врата даје додатно обавештење, то јест да награда сигурно није иза врата 3.

Да је паметније предомислити се постаје очигледније на аналогном примеру са већим бројем врата. На пример такмичар бира једна од десеторо врата иза којих се налази награда. Вероватноћа да је награда иза изабраних врата је 1/10, а да није иза изабраних врата, односно да је иза једних од преосталих деветоро врата, износи 9/10. Након што је такмичар изабрао рецимо врата 1, а Монти му покаже да иза врата 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 нема награде и пита га да ли ће сада ипак изабрати врата 2, наравно да ће то такмичар без размишљања учинити, а математика ће рећи да је избор рационалан зато што шанса за згодитак расте са 1/10 на 9/10. Међутим, рационалност избора је релативан појам јер се може догодити и да, упркос малој вероватноћи (1/3 у првом примеру или 1/10 у другом), учесник квиза из прве намирише награду.
Читав овај логички проблем има смисла само уз претпоставку да ће Монти Хол увек отворити она врата иза којих се не крије награда, док другачије понашање Монтија води другачијем одговору. На пример ако Монти отвара врата само када је играч првобитно изабрао врата иза којих је награда, не треба се предомислити, или, уколико Монти случајно изабере врата која ће отворити, онда је свеједно да ли ће се такмичар предомислити.

Решење проблема Монтија Хола детаљно је описала Мерилин вос Савант (особа са највећим измереним IQ на свету) у својој колумни у једном америчком часопису, што је изазвало лавину реакција читалаца, од којих су многи били доктори наука, који су, поред јасног математичког и логичког објашњења тврдили да је одговор погрешан. И касније, када би се људи први пут сусрели са проблемом Монтија Хола, увек би долазило до острашћених оспоравања, што је навело многе психологе да покушају да нађу узрок таквом понашању. Неки сматрају да је то зато што се на овом тривијалном примеру показује колико наше процене у свакодневним околностима могу да буду нерационалне, иако смо убеђени у њихову исправност, и да у њиховој основи може бити логика које нисмо ни свесни.
Иако је француски математичар Жозеф Бертранд још крајем 19. века поставио математички проблем сличан проблему Монтија Хола, а Мартин Гарднер га је педесетих година прерадио и понудио широј америчкој публици, тек је овако постављен логички задатак постао планетарно познат као омиљен пример у уџбеницима вероватноће, универзитетским предавањима, популарним публикацијама и популарној култури.


П.З.

Ćao ljudi. Da li ovde mogu da popričam sa nekim ko zna nešto više o zakonima verovatnoće? Ja sam ovaj forum pronašao slučajno tako što sam ukrcao na Guglu ovo što me zanima i izašao mi je tekst od lika Shadow koji je pisao o ovoj temi. I tako sam sr registrovao.Molim sve koji znaju nešto o ovoj temi da se jave i da mi pomognu da rešim enigmu :-)  Hvala unapred .

GoksiBg75 ::

Ćao ljudi. Da li ovde mogu da popričam sa nekim ko zna nešto više o zakonima verovatnoće? Ja sam ovaj forum pronašao slučajno tako što sam ukrcao na Guglu ovo što me zanima i izašao mi je tekst od lika Shadow koji je pisao o ovoj temi. I tako sam sr registrovao.Molim sve koji znaju nešto o ovoj temi da se jave i da mi pomognu da rešim enigmu :-)  Hvala unapred .

Napiši koja ti enigma, pa da probamo riješiti. 

da li je moguce prema ovim brojevima u nizu proracunati koji ce se broj sledeci pojaviti? npr: 112671115571228114457111389141812272263311.

Nije baš u skladu s gradivom koje radim. Razmisliti ću malo, pa se javim. 

e hvala ti puno... izracunao sam a i vidi se da se br 1 najvise pojavljuje ali nije uvek slucaj. ne znam kako bih to izracunao da bude tacno,msm na to koji ce se naredni br pojaviti. Ako kojim slucajem ne znas uputi me kod nekoga.Hvala i srecna nova godina

Vidim da se pojavljuju znamenke od 1 - 9, a bez nule. Ako se brojevi pojavljuju slučajno, mislim da sljedeći može bilo koji broj uz vjerojatnost 1/9. 

Slučajno pojavljivanje (odabir) nebi trebalo imati nikakve veze s prethodnim pojavljivanjem. Kada bi broj bio beskonačno velik, sve znamenke bi se po teoriji pojavile isto puta. 

I Tebi sretna Nova godina. 

a ha,ok razumeo sam... ali ti dogadjaji kada se pojave mogu da idu i preko 10,npr 11,13,16,14 i sve tako do 20, i mnogo redje nego ovi do 9. Npr: 2,5,4,1,1,2,7,6,1,1,1,13,2,6,6,1,19,2,4,5,3,2,7,9,6,1,1,3,3.1,1,17..,. itd...ovo je samo 1 primer kako sr oni pojavljuju. i mogu ici ,mislim,tej niz moze i

da se nastavi beskonacno. u mom slucaju onoliko koliko sam ja strpljiv da to pratim i zapisujem :-\

hvala ti na trudu i utrosenom vremenu :-)

sta se onda desava? mucim se vec par godina da nadjem nekoga ko bi mi to objasnio i nasao sam tek sada vas na ovom forumu

da jos ovo kod mene u mom slu caju se znamenke ne izjednacuju vremenom. uvek se najvise pojavljuje br 1 pa 2,3 itd dto je veci br u nizu to se redje pojavljuje tako da na primer u nizu od 150 brojeva 30% ima keceva,20% dvojki 10% trojki dik npr devetki ima samo 2%..,Eto mozda sam vam nesto pomogao :-)

Očigledo da to nisu slučajno odabrane znamenke od 1 - 9.
O kakvim se to brojevima radi? Što oni predstavljaju?

Vidi ovako. Prvo hvala puno na strpljenju i utrošenom vremenu. Radi se o sportskom kladjenju,ali ne onako kako se svi ostali klade. Ovde kod mene nije bitno ko sa kime igra,nije bitno da li je taj sportski dogadjaj namesten ili ne. Kod mene se radi o čistoj matematici. Ja na ovome radim dugo i nikako da krenem da igram... Ne znam da li se razumeš u fudbal,mada je ne bitno,znaš sigurno šta je to nerešen rezultat,odnosno da to znači da na meču nema pobednika.. E ovako: ja sam uzeo svesku i počeo da zapisujem mečeve i rezultate istih... Oni brojevi su rezultat kako se pojavljuje nerešen rezultat.. Utakmice nisu nasumično izabrane,tačno se zna kako ih biram i tako već od 02.08.2014 godine. E sada zamisli svesku :-) i zamisli da prvi meč počinje u 12h. Počeo,završio se,pobedio domaćin. Drugi meč počeo u 15h,završio se,pobedio gost,treći meč počinje isti dan samo u 20h i taj meč se završio nerešeno. Ja uzmem i udarim KRUŽIC pored tog meča. U svesci ima još mečeva za sutra,predpostavljaš da mečeve u svesci ispisujem jedan ispod drugog odnosno svaki naredni ispod završenog pa tako i te kružiće jedan ispod drugog... E sad svaki taj kružić ima vrednost broja o kojima je reč. Npr na utakmici u 20h je bilo nerešeno tu pored stavim kružić,na utakmici u 22h je pobedio domaćin a na meču u 00h je opet bilo nerešeno i tu stavim kružić. Znači od utakmice u 20h na kojoj je bilo nerešeno pa do utakmice u 00h na kojoj je takodje bio nerešeno ima jedna u 22 na kojoj nije bilo nerešeno i pored koje nisam upisao kružić. Uzmimo utakmicu od 20h kao početak niza jer je prvi kružić pored nje,sledeća je bila u 22h bez kružića pa sledeća u 00h opet kružić,znači da se pojavio na drugu od one u 20h. Recimo na primer da se od te u 00h i zadneg,odnosno drugog kružića,sledeći pojavio na petu utakmicu,pa na treću,i odmah zatim na prvu. Naš niz kružića,izražen u brojevima bi izgledao ovako: 2,5,3,1 itd. Nadam se da me razumeš :-)
Evo napisaću ti kako stvarno izgleda taj niz sa početka avgusta 2014 ali ću napisati 75 brojeva tj pojavljivanja nerešenog rezultata a do sada,zaključno sa današnjim danom ima 252 pojavljivanja :O

2 3 6 1 2 7 4 7 11 4 3 1 2 2 13 1 4 8 3 3 3 1 3 1 2 8 3 2 2 7 1 7 13 4 1 4 1 3 4 8 1 2 2 4 5 1 5 2 7 4 1 1 3 3 2 3 3 2 10 2 1 1 1 5 1 1 6 7 2 1 4 11 4 1 5 :-) Eto tako to izgleda. Mora,logično je da postoje neke zakonitosti u ovom nizu. U 253 pojavljivanja 1 se pojavljuje 75 puta 2 se pojavljuje 44 puta 3-35 puta,4-30 puta,5-19 puta,6-14 puta,7-10 puta,8-8 puta,9-2 puta,a ovi brojevi preko 10,svi zajedno 15 puta. Eto valjda je sad jasnije. Ulubio mi se palac kuckajući na tel :-) :-|
da li sada možeš nešto da mi kažeš. Ja tražim način kako da iskoristim procentualnu prednost najnižih brojeva 1,2,i 3 :-/

Hej.. Kuc,kuc! Ima li koga? Ili je možda ovo ne rešiv problem ;-(

Mislim da se za klađenje teorija vjerojatnosti na ovom primjeru povezanosti ishoda utakmice i njenog termina teško može uspješno primijeniti. Za klađenje su po meni važne ove stvari: trenutačna forma klubova koji igraju, povrijeđeni i kažnjeni igrači, te tradicija međusobnih susreta. 

Jos od XVII veka, kad su postavIjene njene osnove, pa do danasnjih dana,
teorija verovatnoce je predmet interesovanja naucnih radnika razlicitih profila.
Razlog njene velike aktuelnosti i u savremenom drustvu je u tome sto je ona od
znaeajne pomoci u priIazu i u potpunijem sagledavanju razliičitih problema u nauci.
I ako je vamost verovatnoce sve manje spoma, neprekidno se vode diskusije oko
njenih teorijskih osnova. U tim diskusijama angazovani su filozofi, matematicari,
statisticari i drugi. Teorija verovatnoce je posebno znacajna u statistickoj inferenciji, koja poCiva na njenim osnovama. U ovom odeljku ukazacemo na neke
koncepte verovatnoce i njene matematicke osnove od bitnog znacaja u savremenoj
statistickoj teoriji.
Moze se reci da su dva glavna razloga doprinela pojavi interesovanja za verovatnocu i razvitku njenih matematickih osnova. Prvi je proizisao iz matematickih
problema u igrama na srecu. Svajcarski mate”inaticar Bemuli u XVIII veku je
postavio teorijske osnove verovatnoce, kao jedne matematicke discipline. NeSto
docnije taj razvoj je isao dalje u radovima Laplasa sa njegovim strogo deterministickim pogledom na svet. Po njemu, verovatnoca je sastavni deo nauke 0 prirodi,
kao teorija gresaka, u čijoj osnovi je sistematsko proucavanje sredine i njenog
varijabiliteta u ponovljenim merenjima. U razvitku teorije vredan je Gausov doprinos sa radovima u oblasti normalnog zakona gresaka itd. Drugi razlog interesovanja za verovatnocu proizisao je iz osiguranja protiv rizika, koje se praktikovalo u trgovini u italijanskim gradovima u periodu renesanse.
U prethodno datom kracem prikazu razvoja statistike moglo se videti kako
se na osnovama racuna verovatnoce razvijala statisticka teorija od XIX stoleca
do danasnjih dana. Danas se statisticka teorija inferencije primenjuje u skoro svim
nauenim disciplinama. Postala je sastavni deo teorijske fizike (nauka 0 toploti,
kvantna mehanika itd). Preko kvantne teorije nalazi svoje mesto i u atomistici itd.
Bez obzira na diskusije 0 racunu verovatnoce i njegovoj interpretaciji, njegova formalna osnova nije diskutabilna. Ipak, kad se primenjuje racun verovatnoce u statistickim istrazivanjima interpretacija modela i rezultata ne sme da se
posmatra kao nesto odvojeno. Subjektivni prilaz racunu verovatnoce i, na njegovoj
osnovi, Bajesova statistika, kako se cesto naziva, je savremeni trend. Taj prilaz
koji je dobio u aktuelnosti posIednjih decenija bite iIustrovan u vezi sa teorijom
84
t’….
odluke u odel;ku 11. Ovde ce biti ob;asn;ene sarno formalne osnove Bajesove teoreme.
5.2. ZNACENJE VEROVATNOCE
Prema klasicnomili apriorikonceptu, verovatnocajednogdogadajaA je odnos
broja za njegapovoljnihdogadajaa, prema broju svih jednakomogucih dogadajan.
Tu verovatnocu pisemo P(A)=~ .
n
Za ilustraciju uzmimo slueaj sa bacanjem novčica gde je verovatnoca dobijanja
“pisma” 1/2 = 0,5 a “glave” 1/2= 0,5; ili kod bacanjakockeverovatnoCadobijanja
“dvojke” je 1/6 itd. U ovom kontekstu “dogadaj” ima jedan ili vise ishoda i to se
eesto naziva “eksperiment”. Formalna definicija “dogadaja” bice data docnije u
vezi sa teorijom skupova. Ova definicija pretpostavlja da se dva ili vise dogadaja
medusobno iskljueuju, tj. da ako jedan nastupi drugi ne moze. Ako za dogadaj A
kod jednog bacanja kocke uzmemo dobijanje bilo koga od brojeva I, 2, 3, 4, 5, i1i
6, onda je njegova verovatnoca P(A) = 1. Dobijanje broja 7 kod tog bacanja je
nemoguce i za to je verovatnoca P(A) = O. Verovatnoca dogadaja A je u okviru
0 ~ P(A) :s;;1.
U osnovi ove klasiene definicije verovatnoce nalazi se princip nedovoljnog
razloga uveden jos od Bernulija. On je proizisao iz pitanja u vezisa interpretacijom
pojma “svih jednako mogucih dogadaja” koji saddi ova definicija verovatnoce.
Po ovom principu dva dogadaja su jednako moguca kada je razlog nepoznat zbog
koga bi jedan imao viSe prednosti od drugog. On je prihvatljiv kada se primenjuje
u igrarna na srecu, medutim, teskoce nastaju izvan toga domena. Ovaj koncept
verovatnoce nije proizisao iz eksperimentalnih posmatranja, nego iz logienog a priori rezonovanja.
Pridimo sada ovom problemu na drugaeiji naein koji je u osnovi definicije
verovatnoce kao relativne frekvencije. Uzmimo opet eksperiment sa bac~njem noveica i ponovimo bacan;e. Kako ima dva moguca ishoda ili dogadaja, normalan cilj
ove operacije je da se utvrdi relativna frekvencija jednog od njih. Ona je izrazena
odnosom mln, gde je m broj nastupanja pisma, n je broj bacanja. Kod malog broja
ponovljenih bacanja, uzmimo 10, relativna frekvencija ce pokazivati vece osciliranje
nego kada je taj broj veci, na primer 20, 30 ili viSe.Svako eksperimentalno ispitivanje
pokazace da relativna frekvencija- pokazuje vecu stabHnost sa porastom n. Tako,
ako se odnos m/n kod 10 bacanja kretao izmedu 0,40 i 0,60, kod 20 bacanja, lako
je moguce, da ce se kretati izmedu 0,42 i 0,58, kod 30 bacanja taj interval je jos
manji itd.
Podimo od pretpostavke da je verovatnoca nastupanja pisma (dogadaj A),
P(A) = 1/2. Kada se ovaj eksperiment ponavlja veliki broj puta (n), relativna frekvencija m/n bice skoro sasvim jednaka navedenoj verovatnoci. S rim u vezi postavice
se pitanje sta je vrednost P(A) s obzirom na to da je ne mozemo ~apred izracunati.
Ta vrednost ili verovatnoca se moze oceniti putem eksperimenta i P(A) nije isto

Ukoliko bacimo kockicu 3 puta, kolika je verovatnoća da dobijemo tri šestice?

ili

Dve kocke su bačene istovremeno. Koja je verovatnoća da ukupan zbir neće biti veći od 3?