Zanimljivosti iz matematike

Citat :

Geometrija posjeduje dva velika blaga: jedno je Pitagorin poučak, a drugo zlatni rez. Prvo se može usporediti sa čistim zlatom, a drugo s draguljem neprocjenjive vrijednosti.
Johannes Kepler

U našem svakodnevnom životu neprestano se susrećemo s matematikom i geometrijom. Svijet koji oblikuje čovjek prepun je pravih kuteva, crta i predmeta pravilnih geometrijskih oblika. Matematika je danas obična, svjetovna znanost, ona je alat kojim se služimo da bismo brojali, računali, mjerili i upravljali svijetom oko sebe. Pritom zaboravljamo ono dublje, metafizičko značenje matematike i geometrije o kojem su govorili mnogi matematičari i filozofi.


Pitagora je smatrao da u osnovi svega leži broj i da je čitav svemir jedna matematička struktura. Zato putem geometrije, koja se bavi redom u prostoru kroz mjerenje odnosa među različitim oblicima, možemo istraživati principe koji vladaju u svemiru. Matematički odnosi i brojevi postoje a priori, oni mogu, ali ne moraju imati svoju paralelu u pojavnom svijetu. Cilj je geometrije omogućiti čovjekovoj svijesti da stvori kanal putem kojeg materijalna razina, razina manifestiranih oblika, može poprimiti apstraktne, kozmičke principe.


Istražujući odnose među oblicima, matematičari su došli do nekih čudesnih brojeva, poput e, baze prirodnog logaritma, ili π (pi), odnosa opsega kruga i njegova promjera, koji kao da izrastaju iz temeljne strukture kozmosa. Jedan od takvih brojeva je i Φ (phi, fi), zlatni broj, zlatni rez ili zlatni razmjer.

Omjer i razmjer

Zlatni rez se brojčano može izraziti kao konstanta čija veličina iznosi 1.6180339…, ali njegovo značenje nije toliko u njegovoj numeričkoj vrijednosti, koliko u razmjeru koji određuje. Da bismo ovo razumjeli, moramo razjasniti pojmove omjera i razmjera (proporcije). Omjer je odnos dviju mjera, veličina, količina ili dvaju svojstava i izražava se formulom a : b. Tako omjer predstavlja mjeru različitosti, i to različitosti koju može spoznati barem jedno od naših osjetila. Odnos a : b nije samo osnovni pojam za sve aktivnosti opažanja, nego označava i osnovni proces inteligencije gdje simbolizira usporedbu između dviju stvari, što je osnova za stvaranje prosudbi.
Proporcija je, međutim, složenija. Razmjer ili proporcija znači jednakost između dvaju odnosa, tj. kada se jedan element prema drugom odnosi kao treći prema četvrtom, a izražava se formulom a : b = c : d. To predstavlja finiju razinu inteligencije od odgovora na jednostavnu različitost odnosa. Stari Grci su to nazivali analogija.
Pitagorejci su razlikovali dva tipa analogije. Prvi je definiran prije navedenom formulom i sastoji se od četiriju različitih elemenata. Taj se tip proporcije naziva diskontinuirani. Ali ako se ograničimo na  samo tri elementa razmjera, dobit ćemo bitno egzaktniji odnos koji možemo izraziti formulom a : b = b : c.
Ovo se naziva kontinuirana proporcija, jer su dva omjera povezana jednim zajedničkim elementom.
Međutim, ta tri elementa razmjera možemo reducirati na samo dva. Jedini prirodni aritmetički razmjer koji možemo dobiti sa samo dva elementa izražava se formulom a : b = b : (a + b), gdje se manja veličina prema većoj odnosi kao veća prema zbroju obadviju veličina. Ovaj se razmjer naziva zlatni razmjer.
Numerička vrijednost broja Φ je (√5+1)/2 ili približno 1.6180339.

Fibonaccijev niz brojeva

Uz zlatni broj Φ vezane su mnoge matematičke zanimljivosti. Primjerice, bilo koju potenciju broja Φ možemo dobiti tako da zbrojimo dvije prethodne potencije. Npr. Φ ⁴ + Φ ⁵ = Φ ⁶
Fibonaccijev niz brojeva, nazvan po talijanskom matematičaru Leonardu Fibonacciju iz XIII. stoljeća, jedan je od načina na koji možemo generirati Φ. Prva dva člana Fibonaccijeva niza su 1 i 1, a svaki sljedeći član dobije se tako da se zbroje prethodna dva:


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…


Ako bilo koja dva uzastopna člana međusobno po­dijelimo, dobit ćemo niz brojeva koji osciliraju oko broja Φ; što je vrijednost članova niza veća, to će vrijednost koju dobijemo njihovim dijeljenjem biti bliža broju Φ. Npr:
8 : 5 = 1.6
13 : 8 = 1.625
…
377 : 233 = 1.6180257…
610 : 377 = 1.6180371…
Iako Fibonaccijev niz počinje s 1, 1, niz je moguće započeti s bilo koja dva broja. U svakom nizu ovakvog tipa, omjer uzastopnih članova težit će prema Φ.

Zlatni pravokutnik

Zlatni pravokutnik je onaj pravokutnik kod kojeg je omjer duže i kraće stranice jednak Φ. Na slici je prikazana geometrijska konstrukcija zlatnog pravokutnika iz kvadrata.
1. Odredimo točku E, polovište stranice AB kvadrata ABCD.
2. Povučemo dužinu koja spaja točke C i E.
3. Šestarom povučemo luk sa središtem u točki E i odredimo točku F. Pravokutnik BDGF je zlatni pravokutnik.
Ako iz zlatnog pravokutnika izrežemo kvadrat čija je stranica jednaka manjoj stranici pravokutnika, pravokutnik koji nam je preostao također će biti zlatni. Tako je na gornjoj slici i pravokutnik ACFG zlatni.
U geometriji se Φ pojavljuje i kod nekih pravilnih geometrijskih likova, npr. kao odnos polumjera kruga i stranice pravilnog deseterokuta oko kojeg je krug opisan, ili kod pentagrama, gdje je svaka dužina podijeljena prema zlatnom rezu.

Zlatni rez u prirodi

Zlatni rez i Fibonaccijevi brojevi pojavljuju se na mnogo mjesta u prirodi, a brojne studije potvrđuju njihovu učestalost. U svijetu prirode rast znači dodavanje određene količine jedinki već postojećima, makar te jedinke bile sitne poput molekule. Čini se da je upravo Φ idealna mjera za rast takve vrste. Dobar je primjer za to prelijepa kućica glavonošca iz roda Nautilus. Ona raste u obliku spirale koja se u svakom krugu povećava razmjerno broju Φ. Grananje kao još jedan oblik prirodnog rasta odvija se prema Fibonaccijevu nizu brojeva.





Logaritamska spirala, otkrivena u položaju koji ljudski i životinjski fetus zauzimaju u posteljici, prisutna je i u modelu rasta mnogih biljaka. Raspored sjemenki kod cvijeta suncokreta slijedi logaritamsku spiralu na bazi zlatnog reza. Nadalje, suncokret ima 55 spirala u smjeru kazaljke na satu koje se nalaze preko 34 ili 89 spirala položenih suprotno od smjera kazaljke na satu. Ove brojeve prepoznajemo kao dio Fibonaccijeva niza koji generira broj Φ.


Zanimljiv primjer Fibonaccijeva niza u prirodi možemo pronaći kod pčela. Kod njih je jedinstveno da trutovi nastaju iz matičinih neoplođenih jajašaca, tako da imaju samo majku, dok ženske radilice imaju i majku i oca. Ali i kod jednih i kod drugih, ukupan broj pčela svake generacije slijedi Fibonaccijev niz brojeva.


Zlatni rez, vezano uz njegovo pojavljivanje kod pentagrama, možemo pronaći kod svakog cvijeta s pet latica. Porodica ruža, kao i cvjetovi svih jestivih voćaka, imaju pet latica ili broj latica koji je višekratnik broja pet. Tradicionalna medicina smatra da kroz taj broj biljke daju čovjeku znak da su jestive.

Čovjek i zlatni rez

Kanon ljudskog tijela, odnosno opis prosječnih i idealnih mjera ljudskog tijela, bio je predmet čovjekova interesa još od najstarijih vremena. Poznati su nam kanoni iz doba faraona, Polikletov, Leonardov, Albertijev, Michelangelov i brojni drugi. U mnogima od njih, ljudsko je tijelo promatrano kao složen sustav odnosa koji se izjednačavaju u zlatnom rezu.
Prema egipatskim, grčkim i japanskim kanonima, pupak dijeli čovjekovo tijelo prema zlatnom rezu, dok se spolni organi nalaze točno na polovici čovjekove pune visine. Ovo označava povezanost seksualnosti s funkcijom dualnosti, podjele na dva, tj. reprodukcije. Kod rođenja, međutim, pupak se nalazi na pola visine djetetova tijela i tijekom rasta pomiče se na točku zlatnog reza. To simbolički označava kretanje dualne, spolno podijeljene prirode prema harmoničnijem odnosu koji simbolizira zlatni rez.

Zlatni rez u umjetnosti

Otkako je čovječanstvo počelo razmišljati o geometrijskim oblicima svoga svijeta, brojne prirodne, filozofske i estetske studije bavile su se zlatnim rezom. Zlatni je rez bio prisutan u sakralnoj umjetnosti Egipta, Indije, Kine i drugih drevnih civilizacija. Dominirao je u grčkoj umjetnosti, ostao skriven, ali prisutan u gotičkom srednjem vijeku, da bi ponovno bio slavljen u renesansi.
Možda najslavniji primjer primjene zlatnog reza u umjetnosti je Partenon, grčki hram posvećen božici Ateni koji su sagradili arhitekti Iktin i Kalikrat. Kod Partenona je zlatni pravokutnik prisutan i u pročelju i u tlocrtu hrama. Omjeri veličina pojedinih dijelova hrama, sve do najsitnijih, predstavljaju razmjer zlatnog reza. Grčki su umjetnici ovaj princip razumijevali ne samo kao odnos dužina, nego i kao odnos površina, zavladavši na taj način beskrajem lijepih oblika.
Analize pojedinih autora pokazuju da je u većini klasičnih građevina na neki način ugrađen zlatni rez. Fidija (Phidias), kipar čija djela krase Partenon, svoje je kipove proporcionirao prema ovom razmjeru. Zato je američki matematičar Mark Barr dvadesetih godina prošlog stoljeća predložio da se numerička vrijednost zlatnog razmjera označi slovom Φ (phi) prema prvom slovu imena čuvenog kipara.





Iako se zlatni rez najčešće veže uz grčku umjetnost, on je bio poznat i ranije, još u vrijeme Babilonaca i Egipćana. Grci su od Egipćana preuzeli ideju da pomoću osnovnih geometrijskih likova (kvadrata, kruga i istostraničnog trokuta) te razmjera poput zlatnog reza prenesu principe makrokozmosa u čovjeku bliži svijet mikrokozmosa. Grob Ramzesa IV. u Dolini kraljeva lijep je primjer povezivanja arhitekture i sakralne geometrije. Naime, Ramzes IV. sahranjen je u grobnici uklesanoj u stijeni u trostrukom sarkofagu. Sarkofag u kojem se nalazilo tijelo bio je u obliku dvostrukog kvadrata, a srednji sarkofag bio je u obliku zlatnog pravokutnika. Treći, vanjski sarkofag, sastojao se od dva takva pravokutnika. Geometrijska analiza predmeta pronađenih u grobnicama pokazala je da su i oni oblikovani korištenjem kvadrata i zlatnog reza, što pokazuje prisutnost sakralne geometrije ne samo u velikim arhitektonskim formama, nego i kod najmanjih svetih predmeta.
Zlatni rez ne pojavljuje se samo u arhitekturi. Analiza kompozicije slike Krštenja Kristova Piera della Francesce pokazuje nam da je ova slika zapravo geometrijska alegorija principa Svetog Trojstva, pri čemu Sveto Trojstvo slijedi geometrijski simbolizam zlatnog reza. Kristovo tijelo smješteno je unutar površine





1 × 1/Φ ³, a njegova visina je 3 × 1/Φ ³. I drugi elementi kompozicije vođeni su sličnim principima, u skladu s kršćanskim simbolizmom, npr. položaj Kristova srca, pupka, ruke Sv. Ivana itd.


Na slici Piera della Francesce Krist povezuje geometrijskom, matematičkom logikom pojmove duha i materije, univerzalnog i individualnog, konačnog i beskonačnog. Upravo harmonizacija s onim višim, nama teško dokučivim sferama bila je cilj svih istinskih filozofa. Za mnoge od njih zlatni rez je bio izravna veza s tim sferama, njihova manifestacija u našem nesavršenom pojavnom svijetu. Bilo bi pretjerano reći da se zlatni rez nalazi posvuda u prirodi, ali gdje god opazimo pojavu izuzetne ljepote i sklada, najčešće ćemo otkriti prisutnost zlatnog reza. On je podsjetnik na srodnost našeg pojavnog svijeta s njegovim savršenim izvorom i s njegovom potencijalnom budućom evolucijom.


Autor: Suzana Dobrić

Genijalni um Johna Nasha


Analizirajući karakteristike genija iz različitih područja i vremenskih razdoblja, može se uočiti mnoštvo zajedničkih osobina: izvanredne intelektualne sposobnosti, kreativnu produktivnost, snažnu intuiciju, golemu životnu energiju te upornost u traženju rješenja.
Ako ponekog genija i ne karakterizira neka od gore navedenih osobina, jedno im je ipak svima zajedničko – životni put obilježen velikim iskušenjima, profesionalnim i osobnim krizama, nerazumijevanjem okoline i tragikom. Genij je dijete tuge, rekao je jednom američki skladatelj John Adams.
John Forbes Nash, Junior (1928. – 2015.) američki je matematičar koji je postao planetarno poznat 2001. godine zahvaljujući biografskom filmu Genijalni um – blockbusteru Rona Howarda koji je za to ostvarenje dobio Oscara za režiju. Iako je film rađen na osnovi istoimene Nashove biografije koju je uz pomoć njegove supruge Alicie napisala novinarka Sylvia Nasar, ipak se u mnogočemu razlikuje od knjige, a knjiga opet od stvarnog života.

Nagrade za matematiku i ekonomiju

John Nash veliki je znanstveni um našega doba, dobitnik mnogih nagrada na području matematike i ekonomije.
Jedina je osoba koja je dobila i Nobelovu i Abelovu¹ nagradu . Dodijeljena mu je Nobelova nagrada 1994. godine za ekonomiju (zajedno s Johnom Charlesom Harsanyijem i Reinhardom Seltenom), za pionirski rad na području teorije igara.
Nashova zasluga u unapređenju teorije igara je teorija ravnoteže nekooperativnih igara (Nashov equilibrium ili Nashova ravnoteža) koja se smatra značajnim dostignućem u prošlom stoljeću. Nashova ravnoteža možda nije najbolje rješenje za pojedinca, ali je zato optimalno rješenje za sve sudionike. Znanstveno gledano, teorija igara povezuje matematiku s ostalim disciplinama te je doprinijela boljem razumijevanju ekonomije, sociologije, psihologije i teorije evolucije.
Za doprinos teoriji nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi i njihovih primjena u geometrijskoj analizi dobio je Abelovu nagradu 2015. godine, zajedno s kanadsko-američkim matematičarom ­Louisom Nirenbergom.
Jednom prilikom Nirenberg je rekao: Prije otprilike dvadeset godina netko me je pitao postoje li matematičari koje bih smatrao genijima. Mogao sam pomisliti samo na jednog te je moj odgovor bio – to je John Nash. Imao je nevjerojatan um. Razmišljao je drugačije od drugih ljudi.
Bio je i na pragu osvajanja Fieldsove medalje, najprestižnije nagrade u matematici, no ipak mu je promakla i pripala je Enniu de Giorgiju jer su skoro u isto vrijeme, ali različitim metodama, obojica došla do rješenja devetnaestog Hilbertovog problema.

Klice genijalnosti mladog uma

Na poticaj ambiciozne majke učiteljice, naučio je čitati već s četiri godine, a u školi je preskakao razrede. U ranom djetinjstvu Johnovi učitelji nisu prepoznali njegov genijalni um, ali su detektirali nedostatak socijalnih vještina. Jednom je prilikom učiteljica obavijestila roditelje da John ne razumije matematiku, a ustvari ona nije razumjela njegov elegantniji način rješavanja matematičkih problema. U školi se izrazito dosađivao – dok bi učenici tek prepisivali zadatak s ploče, Nash bi ga promotrio i mirno iznio rješenje. No, situacija je srećom bila stimulativnija u obiteljskom okruženju. Dok su njegovi vršnjaci čitali slikovnice, otac je Johnu davao znanstvene knjige; dok su se ostali igrali loptom, John je radio znanstvene eksperimente.

Znanstveni i psihološki portret u mladosti

Upisuje kemiju na Carnegie institutu za tehnologiju, no završava matematiku. Na Princetonu je doktorirao 1949. disertacijom za koju će četrdeset i pet godina poslije dobiti Nobelovu nagradu.

Citat :

Nashova ravnoteža (prema Johnu Forbesu Nashu), skup je strategija u teoriji igara s pomoću kojih se u igri postiže ravnotežno stanje bez suradnje igrača (nekooperativna ravnoteža) iako bi dobitak svima bio veći kada bi se dogovorili. Nakon što je postignuta Nashova ravnoteža, nijedan igrač ne može promijeniti svoje ponašanje a da to za njega ne znači gubitak. Ostali igrači promjenu vide kao pogrešku kojom se koriste za svoj dobitak.
Primjer je uspostave Nashove ravnoteže slučaj dvojbe zatvorenika. Dvojica su osumnjičenika za pljačku banke uhićena i smještena u odvojene ćelije. Policija nema dokaze i može ih optužiti jedino na temelju njihovih priznanja. Ako obojica ne priznaju, bit će zbog prometnog prekršaja kažnjeni po godinu dana zatvora. Ako obojica priznaju, svaki će dobiti 5 godina zatvora zbog pljačke banke. Ako samo jedan od njih prizna, bit će oslobođen, dok će drugi biti osuđen na 10 godina zatvora. Svaki zatvorenik ima dvije mogućnosti: priznati ili ne priznati. Najbolje zajedničko rješenje bilo bi ne priznati. Međutim, ako nema dogovora, pojedincu je sigurnije priznati. U slučaju dvojbe zatvorenika, Nashova je ravnoteža priznanje obojice zatvorenika.

Kolege su ga opisivali kao čudaka koji na klaviru stalno iznova svira istu melodiju, ostavlja sladoled da mu se topi po odjeći, hoda po svom cimeru koji spava, kako bi ugasio svjetlo. Često bi sam lutao studentskim dvorištem razmišljajući i pričajući naglas, a studenti su govorili: On je lud, ali neće nikome učiniti ništa nažao. Sugovornika bi rijetko gledao u oči, trebalo je dugo vremena da odgovori na pitanje, a ako ga je smatrao glupim, na pitanje uopće ne bi odgovorio. Kažu da je bio vrlo usamljen i izložen podsmijehu, no i sam se prema kolegama ponašao pomalo bahato, kao da mu nisu dorasli, što i nije bilo daleko od istine. Jedan je kolega rekao da je bez obzira na svu njegovu ekscentričnost, u njemu tinjala čista ljudska toplina. Sigurnost u vlastite ideje i intelektualna samouvjerenost kod njega nisu bile upitne. Kad je stigao na Princeton, posjetio je Einsteina kako bi s njim porazgovarao o nekim svojim idejama i, prema sveučilišnim tračevima, kako bi Einsteinu nešto objasnio. Poslije je sam o tom susretu rekao: Kad sam upoznao Einsteina, bio je u godinama mog djeda. Sjećam se da smo pričali o teorijama u fizici. Nije djelovao previše impresioniran onime što sam mu rekao, ali me savjetovao da bez obzira na to čime se trenutno bavim, moram ući duboko u tu materiju ako želim biti uspješan.


U dvadeset i trećoj godini postaje predavač na prestižnom MIT-u (Massachusetts Institute of Technology). U skladu s karakteristikama genijalnih umova, John nije znao prenijeti znanje koje se rojilo u njegovoj glavi. Njegova su predavanja više sličila glasnim razmišljanjima i izgovaranju nepovezanih ideja, što je rezultiralo nezainteresiranošću studenata za njegove kolegije.
Njegova stručnost i kompetentnost dovele su ga u vojnu organizaciju RAND, korporaciju u kojoj je radio kao konzultant na razvoju niza igara koje su služile za predviđanje strategija američkih vojnih neprijatelja. Bilo je to krajem 50-ih godina XX. stoljeća, kad se ženi kolegicom Aliciom Lopez i kad se počinju pojavljivati prvi znakovi bolesti.

Godine borbe s paranoidnom šizofrenijom

Iako su mnogi već i ranije Johnovu čudnovatost okarakterizirali kao oblik neke psihičke bolesti, nastup je bio nagao i zastrašujući. Delirij je bio poput sna iz kojeg se nikad ne budim, rekao je jednom o tim stanjima.


Slijedilo je teško razdoblje dugotrajne terapije koje je trajalo dvadesetak godina. Činilo se da neće biti poboljšanja. Bile su to godine jasnog suočavanja sa svojim stanjem i s osjećajem bespomoćnosti da bilo što učini za svoje zdravlje. Svojevoljno i kategorično prekida sve vrste terapija te dane provodi u svom svijetu, progonjen paranojama i mučen deluzijama. Alicia se razvodi od njega, no nikada ga nije uistinu napustila.
Tijekom čitavog razdoblja teške mentalne bolesti nastavio je racionalno razmišljati i rješavati probleme znanstvene probleme. Mislim da sam bio jednako uspješan u svojim istraživanjima i za vrijeme bolesti i u razdoblju prije nje, jedina razlika je u tome što bi moj rad bio bolje vrednovan i poštovan da sam bio “normalna” osoba.
Sredinom osamdesetih bolest se polako povlači, a da nije bila tretirana medicinskim putem. Stručnjaci nisu imali odgovor na takav razvoj Johnovog stanja, biografi ga pripisuju Alicijinoj požrtvovnosti i ljubavi, a matematičari genijalnom umu sposobnom da u takvoj bolesti razluči zbilju od fikcije. Borio se protiv mentalne bolesti iznimnom snagom vlastite volje.

Povratak u realnost

Nakon izlječenja vraća se na Princeton i službeno nastavlja s radom, premda se ustvari nikad nije ni prestao baviti istraživanjima. Tada prima i zlatno odličje za svoj rad – Nobelovu nagradu.
Na primanju nagrade 1994. godine u Stockholmu u publici je sjedila Alicia, a John, tada šezdesetšestogodišnjak, držao je poduži govor. Između ostalog rekao je da je, statistički gledano, za­ista nevjerojatno da bilo koji matematičar ili znanstvenik u dobi od 66 godina može kontinuirano istraživati. I zaista, u njegovim kasnijim godinama mnogi su se divili bistrini njegova razmišljanja, a i fizički je odavao dojam mnogo mlađe osobe.
Mladi znanstvenici osjećali su poštovanje prema njemu, voljeli su s njim pričati, znali su da od njega mogu puno naučiti. Kad su ga u Istanbulu 2012., za vrijeme jedne matematičke konvencije pitali ima li matematika ikakve veze s poštenjem, osamdesetčetverogodišnji John je odgovorio: Naravno da ima. Cilj matematičara je da nađu istinu. To je vrlo važno. U matematici nema laganja.


Izuzetno je snažna bila povezanost Johna i Alicije, jedna od onih rijetkih koje se mogu nazvati sudbinskima. Stvarnu priču njihova života teško da bi mogao tako originalno osmisliti bilo koji scenarist. Par se po drugi puta vjenčao 2001. godine, a 24. svibnja 2015., na povratku s dodjele Abelove nagrade, zajedno pogibaju u automobilskoj nesreći…

Postoji veza između odstupanja od normalnog razmišljanja i pribjegavanja kreativnom razmišljanju. Ne bi mi na um pale dobre znanstvene ideje da sam razmišljao “normalno”.
Postoji velika razlika između fantaziranja o idejama i uzdizanja uma do čistih ideja u nastojanju da se u obliku umjetničkog ili znanstvenog djela te ideje nesebično stave u službu i na dobrobit čovječanstva. Prvo ne zahtijeva izlazak iz svoje uobičajene zone komfora, drugo zahtijeva izuzetne psihomentalne napore i odricanja. Prvo je odlika prosječnosti, drugo genijalnosti.
¹ Abelova nagrada norveška je međunarodna nagrada koju od 2003. godine dodjeljuje Norveška akademija znanosti za izuzetan doprinos na području matematike. Nazvana je prema norveškom matematičaru Nielsu Henriku Abelu te je, zajedno s istoimenom zakladom, uspostavljena na 200. obljetnicu njegova rođenja.