Čudesna matematika

**Učlanjen** : 18.12.2021

Na koliko načina se mogu odabrati tri broja iz skupa (1, 2, . . . , 100) tako da je jedan aritmetička sredina preostala dva

Neka je c aritmetička sredina 2 broja a i b (a < b )
Da bi prirodan broj c bio aritmetička sredina brojeva a i b, a < b, brojevi a i b trebaju biti podjednako udaljeni od c sa lijeve i desne strane.
Razmotrimo koliko parova (a, b) možemo odabrati u zavisnosti od vrijednosti c − a u datom skupu $Čudesna matematika - Page 6 35cdfc52ab10baf674419ee56bec00f4db72ce33$

ako je c = 1 ne postoji takav par (a, b) iz skupa S
ako je c = 2 postoji takav par (a, b) ∈ {(1, 3)} iz skupa S
ako je c = 3 postoje takva dva para (a, b) ∈ {(2, 4), (1, 5)} iz skupa S
. . .
ako je c = 50 postoje takva 49 para (a, b) ∈ {(49, 51), (48, 52), (47, 53) . . . (1, 99)} iz skupa S
ako je c = 51 postoje takva 49 para (a, b) ∈ {(50, 52), (49, 53), (48, 54) . . . (2, 100)} iz skupa S
ako je c = 52 postoje takva 48 para (a, b) ∈ {(51, 53), (50, 54), (49, 55) . . . (4, 100)} iz skupa S
. . .
ako je c = 99 postoji jedan par (a, b) ∈ {(98, 100)} iz skupa S
ako je c = 100 ne postoji takav par (a, b) iz skupa S

$Čudesna matematika - Page 6 3172d9a48d7b3e589560a38609164cb05e58a629$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Odrediti sve prirodne brojeve x,y i z za koje vrijedi jednakost 1/x+1/y +1/z = 1/2023

$Čudesna matematika - Page 6 3d7b83aeff8314cd2a9ae6699f973343cc6080ff$

smjenom $Čudesna matematika - Page 6 Afb98e7cef7d9af88baef9ba3f6659a59516fccd$
$Čudesna matematika - Page 6 4dc3b53d927deb22145d256a97132c730dd9b2a1$
Bez ograničenja i možemo pretpostaviti $Čudesna matematika - Page 6 455445e8f6c7b76d4ea777c774fc330419a7527d$
$Čudesna matematika - Page 6 4a7fb2c8c4001e9ff41d6974ba14c61b041a2091$ pa je
$Čudesna matematika - Page 6 97ce8974e9ac480b0a0c7fb05264d508de393cf7$
1.
$Čudesna matematika - Page 6 Ec7359bf57a3bccb5a7eb377f641b47cad2931a4$
$Čudesna matematika - Page 6 7d0297bbceb84bfb863166277d9b238d41db7865$

b = 2 $Čudesna matematika - Page 6 D37a90cf6ca02677f451dd3e43edbb1a2329bb50$ ne postoji takvo a ∈ N.
b = 3 $Čudesna matematika - Page 6 83c2b4d54c26d307fe7f3c1a2c9a3c342e8b1fb8$ pa se dobije $Čudesna matematika - Page 6 8041da6dd8a2d77f4eac55fa7f89ccc5d94dcc75$
b=4 $Čudesna matematika - Page 6 5c433b97302b394384e28ce06483919755749fc3$ pa se dobije $Čudesna matematika - Page 6 B4f9bc731559e68fc452dd454b6387df829a9d11$

2.
$Čudesna matematika - Page 6 D9c9aae73942c81ee1f520a18cd0b9764292a854$
$Čudesna matematika - Page 6 875703a792771a1eafec398cbf519e1dee21d02d$
$Čudesna matematika - Page 6 7ab6a474f53ab3c6ffc80f38d2ccfd2ad1c1cec4$
odnosno rješenjejednačine je $Čudesna matematika - Page 6 1c0442266eec79dfd001ba08343110f1526d5da2$
imamo sljedeća rješenja: $Čudesna matematika - Page 6 9f8610561ef84b30694186cc8ceec8d9747f8628$ uključujući njihove permutacije.

**Učlanjen** : 18.12.2021

U četverouglu ABCD vrijedi ∢ABC = ∢ADC = 90◦, AB = BC, CD+DA = 2. Odrediti površinu četverougla ABCD.

Neka je $Čudesna matematika - Page 6 Ca620d975bc5002e737647df7b9dab1c7faafd2b$
$Čudesna matematika - Page 6 8131b1f73e3833f59e60eae8123d8704c59ceeac$
$Čudesna matematika - Page 6 3d13943790afc22af3821ba29ef29e0c06a49ccc$
$Čudesna matematika - Page 6 7e41f33ef993aa21755ba63c7a05d7e5a5ef3d98$
$Čudesna matematika - Page 6 A24e9d746a283731c0ef14baea3163434441e834$
Na osnovu Pitagorine teoreme $Čudesna matematika - Page 6 Fb0df2b7cd222bceeeb91868bb03b43fb3f84dcc$
$Čudesna matematika - Page 6 Ce4bf3dc19ec055371b7f9945ead9c10da78b03b$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Nekom trocifrenom broju dopiše se 8, i to jednom na početku, a drugi put na kraju. Razlika tako dobijenih brojeva iznosi 1107. Koji je taj trocifreni broj

Neka je x traženi trocifreni broj. Dopisivanjem cifre 8 tom broju s lijeve strane dobije $Čudesna matematika - Page 6 993d0215a8b1aefcddf4c087da6f6cb849d0972a$ , a dopisivanjem cifre 8 tom broju s desne strane dobije se broj $Čudesna matematika - Page 6 Eda9a28bcc9f095407baeb1b7b0bbcbefc8adb86$ .
$Čudesna matematika - Page 6 Baac6cfc1abaa8b200a843172cb3294648fcfebf$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Kupa je presječena s ravni paralelnom s bazom na dva dijela jednakih volumena. 0mjer visina dobijene krnje kupe i visine početne kupe je

Očito je da je volumen krnje kupe jednak polovini volumena kupe. Ako se kupa presiječe s ravni položenom tačkama V ,S , i F .
$Čudesna matematika - Page 6 25aa8d2e7ce53dff2d2c1041cda4cb6839ddc61e$ tj slične su i kupe dobijene rotacijom tih trouglova oko osi VS kupe. Ako je k koeficijent sličnosti trouglova, onda se volumeni odnose kao k³
$Čudesna matematika - Page 6 691e11d74b2487e8ce11b1afc8ffcfd2afcd33fb$
$Čudesna matematika - Page 6 Ad94c2edb356973f3a6aeeaa135cf19147d10a9b$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Koju cifru treba dopisati zdesna broju 9077 tako da dobiveni peterocifreni broj bude djeljiv sa 6

broj djeljiv sa 6 mora biti djeljiv sa 2 i 3 jer je $Čudesna matematika - Page 6 B55233af9d3daaa0ca49bd59d3dbff00120942fe$
broj djeljiv sa 2 je paran broj tj poslednja cufra mora biti paran odnosno dopisani broj mora biti 2,4,6, ili 8
broj djeljiv sa 2 ima zbir cifara djeljiv sa 3 tj $Čudesna matematika - Page 6 71766a504b545707f0be673be324630612a6e05d$ mora biti djeljiv sa 3
da bi broj $Čudesna matematika - Page 6 7d94b37c6b23993ceccc4089d1bdac7147dd4925$ bio djeljiv sa 3 mora biti 24 ili 27
$Čudesna matematika - Page 6 28630079dee0e8fae8fb5f242d959fce90504b40$
$Čudesna matematika - Page 6 2a2f40d6be4f411ea2f1253b8625e9d761b11dd1$
broj $Čudesna matematika - Page 6 A49a877dc814999dabab6fd68ab146ac8fd884a4$ nije traženi jer nije paran
broj $Čudesna matematika - Page 6 9aaeeae147e730ce1d93449ac3fce924dc6effdb$ je traženi jer je $Čudesna matematika - Page 6 022c8796e308082abc69b763eed447e64d5dd91b$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Tri vrste sveski je spakovano u 25 kutija tako da u svakoj kutiji se nalaze sveske iste vrste. Da li postoji 9 takvih kutija da su sve sveske u njima iste vrste

(25-1)/3 +1 = 24/3 +1=8+1=*9

Dirihleov princip

**Učlanjen** : 18.12.2021

Imamo 308 kutija i 925 klikera u njima, onda će u nekoj od kutija biti bar 4 klikera

kako je 308∗3=924 $Čudesna matematika - Page 6 9d3ee0a25c6c1dc1d751a14738616e2aa575eb45$ sigurno u svim kutijama ima ima po 3 klikera

925−924=1 $Čudesna matematika - Page 6 16984edb024bd1c9d22bcb0bf41f4bcb4330272b$

3+1=4 $Čudesna matematika - Page 6 D6fe90a29b2c7c4b021a32d541d6d7ca52cad74e$ postoji

ili

$Čudesna matematika - Page 6 F39f0205a6d18b3a9b24e1f83f71bf0ab3f42a49$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Na traci papira je ispisan broj od 80 cifara, od kojih ni jedna nije 0. Tu traku papira možemo isjeći na nekoliko dijelova koji sadrže po bar dvije cifre. Saberimo brojeve koji su dobiveni...

Na traci papira je ispisan broj od 80 cifara, od kojih ni jedna nije 0. Tu traku papira možemo isjeći na nekoliko dijelova koji sadrže po bar dvije cifre. Saberimo brojeve koji su dobiveni od cifara na tim dijelovima trake, čuvajući početni redoslijed cifara (kako su cifre i bile poredane na traci). Pokazati da postoji broj koji se može dobiti na 11 različitih načina

kako je

$Čudesna matematika - Page 6 F675fa009b8d18cbb88e80252be79dddb2c8f6d1$
Posmatrajmo samo isijecanja trake gdje dobijamo 4 trocifrena dijela i 34 dvocifrena dijela

$Čudesna matematika - Page 6 41c570c055ba4a448689957a4d94ac33b57b1453$
Najveći zbir ovih brojeva je

$Čudesna matematika - Page 6 Aa15b6f21bb9607c6906af9e74e6b6c74ee075b5$
a kako je $Čudesna matematika - Page 6 6900996345a9ed61b9be3e9d44b0f6b9ade0693c$ mora biti $Čudesna matematika - Page 6 9b37c9161a6c35bff28d9157a13961f1f57891b2$ načina

**Učlanjen** : 18.12.2021

Dokazati da u školi sa 735 učenika najmanje 3 učenika imaju rođendan istoga dana

godina ima 365 ili 366 dana

$Čudesna matematika - Page 6 434f8776d4d87415c6dd828a9fddbeb226dc3a09$
$Čudesna matematika - Page 6 2f00add29e013f33997af0bffe34fabdf76350ed$
iz navedenog se vidi da ih ima 5 ili 3 odnosno ima ih 3

**Učlanjen** : 18.12.2021

Dato je 1999 prirodnih brojeva. Dokazati da je bar 1000 datih brojeva iste parnosti

$Čudesna matematika - Page 6 A570e2bdea35637d9129ed8fd07d015c3f312a23$
ima

**Učlanjen** : 18.12.2021

Među 100 proizvoljnih prirodnih brojeva postoji bar 34 broja koja pri deljenu sa 3 imaju isti ostatak. Dokazati.

$Čudesna matematika - Page 6 494a827b3218ef423b979622744461476bcd3269$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Dato je 999 proizvoljnih prostih brojeva. Dokazati da se bar 250 datih prostih brojeva završava istom cifrom

Prosti brojevi se mogu završavati ciframa 1, 3, 7 ili 9.

$Čudesna matematika - Page 6 Bcc1d8576f0410a0a58e1eee40bc9481fe81f0b6$
ima takvih 252 brojeva tj ima ih sigurno 250

**Učlanjen** : 18.12.2021

Odrediti posljednje dvije cifre broja 2021^(2023)

$Čudesna matematika - Page 6 4e94b5da4e02576fee5009fe3e327fd94d3aa46c$
$Čudesna matematika - Page 6 75fa8c0857858694b415ad0607502b1171af1beb$ za $Čudesna matematika - Page 6 B75e7414db15acdf30d7d412baf4961e669678bc$
$Čudesna matematika - Page 6 7db939ee74480d2c33bb535b48d49f59562f4d04$
$Čudesna matematika - Page 6 686b9ad7ddb397aed7dc2bbf295511ab52705db2$
posljednje dvije cifre su 61

ili

$Čudesna matematika - Page 6 385137452bd2195062a74cda0b17ccac6bb79b2e$
$Čudesna matematika - Page 6 83ee0443dcafe3d40282f71533a039c0820ce3e1$
$Čudesna matematika - Page 6 180320e6b52414476b71b32157fe90bf0ac24eec$
$Čudesna matematika - Page 6 5f03d19c6aa69c4f3ca1101c98d165847ddd38f6$
$Čudesna matematika - Page 6 38a9f4de5772f5d6f429b10970b2b20bd1df3d44$
$Čudesna matematika - Page 6 48d3700681e5f97279faa44eb13d3782138b1cfd$
$Čudesna matematika - Page 6 Dba6bf2b34644c67101ad4c6b6e961f5a29e3de1$
$Čudesna matematika - Page 6 9a1dfaac6d42f5c85483e4f510dbfd7cabe416d6$
$Čudesna matematika - Page 6 D3a7e0e22629006a7520e33da089f9281ecbdb7a$
$Čudesna matematika - Page 6 D3c236501df0e77d3fea09e32b343dc5dd8cf95f$
$Čudesna matematika - Page 6 A48c02abb16fe649111eca53d4dbd58ca31616b9$

**Učlanjen** : 18.12.2021

21^2=21*21=21*(20+1) = 21*20+21 =420+21 = 400 +20 +21= 400+41= 441

**Učlanjen** : 18.12.2021

21^4 = 41^2= 41*41 = 41*(40+1)= 41*40+41=1640+41= 1681

**Učlanjen** : 18.12.2021

https://kabinet-matematike.fandom.com/hr/wiki/Data_je_osnovica_jednakokrakog_trougla_a_%3D12_cm_i_visina_na_krak_hb_%3D_48/5_cm_._Izra%C4%8Dunati_povr%C5%A1inu_trougla_i_drugu_visinu

Data je osnovica jednakokrakog trougla a =12 cm i visina na krak h_b = 48/5 cm . Izračunati površinu trougla i drugu visinu

**Učlanjen** : 18.12.2021

https://kabinet-matematike.fandom.com/hr/wiki/Zadatak_160

Stranice pravougaonika odnose se kao 12 : 5, a obim je 68 cm. Izračunati površinu opisane kružnice oko pravougaonika

**Učlanjen** : 18.12.2021

kako je
$Čudesna matematika - Page 6 Ca62192f793b7ca92c936ce3edece42321150ab3$

i

$Čudesna matematika - Page 6 29ed85a2087770520d0a6e841d895907f566678b$
$Čudesna matematika - Page 6 44d707627677e43af34a6cc16a3981e105211551$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Koja je posljednja cifra broja: 3^33

kako je

$Čudesna matematika - Page 6 E9e0c75b3275195216aa55411c86694f52aaf508$

$Čudesna matematika - Page 6 Ce8fdef94e9c18721c63145ebc840c2483ef0afc$

$Čudesna matematika - Page 6 68a99c91f5b3b28abe83eacd1263510cd6187f5d$

» Čudesna breskva
» Čudesna mašine
» Da li vam je matematika bila ili je -bauk-?
» Dubai
» Matematika kroz igru i zabavu