Čudesna matematika

**Učlanjen** : 18.12.2021

Koja je posljednja cifra broja: 5^55

$Čudesna matematika - Page 7 F16e81ad2a7eb37d65a1ba0d8d9677b103231bf3$
$Čudesna matematika - Page 7 Af1edb0d0cbee90262d838aa69abe5566beb6b83$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Koja je posljednja cifra zbira brojeva 3^n za n= 100

poslednje cifre od 3ⁿ se ponavljaju periodicno k=4

saberimoi te poslednje cifre
$Čudesna matematika - Page 7 9e9541eaa905236add3f27f96fd1b0d68a6e0122$
$Čudesna matematika - Page 7 D3dceb39ef7e3f274a1c7a923543258c4600a50f$
$Čudesna matematika - Page 7 C7564e1b00bb634256bafd912520a8bb26c6cfd6$

**Učlanjen** : 18.12.2021

U skupu prostih brojeva riješite x ^y + 1 = z

x, y, z prosti brojevi koji zadovoljavaju datu jednačinu.

$Čudesna matematika - Page 7 A096e69af5d25e3dd77b020b13a8a31a7dee3feb$ z neparni prosti broj i $Čudesna matematika - Page 7 1b344fb7132af207d26fca21628ad98e8b0e322e$ paran broj, pa je x paran prosti broj, odnosno x=2 $Čudesna matematika - Page 7 F5578722bcb7e55cec1fe108bc1f1da45f614f7c$ .

Pretpostavimo da je y neparan tj. y = 2^k + 1, k ∈ N.

Imamo

$Čudesna matematika - Page 7 A81ae2a5f05a68b20bd59286602aa58dfe5c6827$ tj $Čudesna matematika - Page 7 Ef868fcc30b8c12c41ecfbfa0e2a8c5d46c5e26d$

ovo je kontradikcija jer je z prost i z ≥ 5 pa je y paran tj $Čudesna matematika - Page 7 E7430b50545f97e942ea1fa9b4a8f80b7c58c0c1$

$Čudesna matematika - Page 7 4869e6d757da074c2ad321038a81b16c125abdc4$

Rješenje je $Čudesna matematika - Page 7 45ae5e9b8c3ed2b6455135dd09f241b6bcb9c4b6$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Za koje je n^ 4 + 4 prost broj

$Čudesna matematika - Page 7 C870cc23905019132b6c7b97b356f6a8c1a30f23$

(n ² + 2 + 2n, n² + 2−2n ∈ N i n ² + 2−2n < n² + 2 + 2n) i n ⁴ + 4 prosti broj, => n ² + 2−2n = 1 i n 2 + 2 + 2n prosti broj

$Čudesna matematika - Page 7 Eb843fcd46a5a54e58319f56ce16398733f3d51d$

pa je

n ⁴ + 4 = 5 i n ² + 2 + 2n = 5

**Učlanjen** : 18.12.2021

Odredite sve prirodne brojeve n za koje su 2^ n − 1 i 2 ^n + 1 prosti brojevi

Brojevi $Čudesna matematika - Page 7 5dff33cce689aadbf5d5d2ac4a09e985a4bed1d3$ uzastopni su prirodni brojevi pa je jedan od njih djeljiv s 3.

$Čudesna matematika - Page 7 Cf84a7217871f42a7a48e70fb2b643be97d1ee53$

3 je prost broj $Čudesna matematika - Page 7 264923ba1b9d1749a8eca604e1684fcde0cdbba5$ i $Čudesna matematika - Page 7 8993980deb6d77b67c09b1efdca2123b8650d368$ prosti su brojevi i

$Čudesna matematika - Page 7 3b5bfb5a1e5d5a25e99ce56d5ca01aa272711e02$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Ako je (a, b) = 1, odredite sve moguće vrijednosti parametra d = (2a + b, a + 2b)

d dijeli svaku linearnu kombinaciju brojeva $Čudesna matematika - Page 7 A764a61bbe5058ca5d9d56ae3f6c15cc190210f2$ , tj. $Čudesna matematika - Page 7 447f2aafbd5041b5adf33b4821227d4c36402aa3$ , za sve x, y ∈ Z.

Za $Čudesna matematika - Page 7 A8880c9f61b611111df326d34d12e204f576138c$ dobijamo da d | 3a, a
za $Čudesna matematika - Page 7 Ce7180d62741c900968511c6d0d8fa4d453fa723$ dobijamo da d | 3b.

$Čudesna matematika - Page 7 36ffa2bfd9a061135696c069168be14455c360fb$

obje vrijednosti dostižu: za a = b = 1 dobija se d = 3, a za a = 1, b = 2 dobija se d = 1.

**Učlanjen** : 18.12.2021

Euklidovim algoritmom odredimo (819, 165)

$Čudesna matematika - Page 7 Ddf1c3763eb13ce027cbe7e76bed334be4cbe6ea$

iz navedenog slijedi
$Čudesna matematika - Page 7 3dab9ebc869865da4210290406a7207bccbeb88f$

$Čudesna matematika - Page 7 3602deb27381215279d7e5d087268feec3bd7498$

je jedno rješenje diofantske jednačine

$Čudesna matematika - Page 7 6dc375d07325ca1d841c1b2513e6054930c19169$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Broj koji nije djeljiv s 2 je neparan. Razlika dva neparna broja paran je broj. Svaki parni broj djeljiv je s 2.

$Čudesna matematika - Page 7 23476e6ef9beee0aef90acdaaddc9ebebf3840b0$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Odredite tri posljednje cifre broja 11^111 .

$Čudesna matematika - Page 7 5145b2491ee70eb2c2962f2710e7904e010cd60a$

$Čudesna matematika - Page 7 C956a241a27317c9a804e981f3d5697ea4c5ced4$

$Čudesna matematika - Page 7 4cfc26b369948b8285aae7e48f4bc773cefdc0f5$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Odredi prirodan broj n tako da je n^4+n^3 +n^2+n+1 potpun kvadrat

$Čudesna matematika - Page 7 98ab797172f8b89e6d926032c4b58e2b60348f45$
$Čudesna matematika - Page 7 D632cb3ba384402d0b4e6c378f1644ac50086ab9$
ovo su dva uzastopna kvadrata .
Broj $Čudesna matematika - Page 7 D21438456baf9b3a8b8f7858493bdbcf7c908b1b$ je između njih

$Čudesna matematika - Page 7 95be996471402b40d4342bb0267dd7396c7201e7$
$Čudesna matematika - Page 7 9acd0f168a12beb1ed6e8590a1d3f3b0556fa25d$
za n=1
$Čudesna matematika - Page 7 3f74be18ee5c823b8677954547669006a6b26b2a$ ne
za n=2
$Čudesna matematika - Page 7 21f87394fd3803bf28b0ab951ba680be7026dc19$ ne
n>2
$Čudesna matematika - Page 7 C97cb0d3f898c82a44934eb0ba6d64adb14d25dd$
$Čudesna matematika - Page 7 Fc6ade91d976a49369107c1645a6ac2af193ab01$
$Čudesna matematika - Page 7 A9d148f4ffd3ac4bc237110bf5e9853f428524ca$
$Čudesna matematika - Page 7 21bfda561b6d75e293721918f3c168870ec41cc3$

kako se radi o prirodnim brojevima to je

$Čudesna matematika - Page 7 052247500ccc77ed27da673efb91eee579622e94$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Odredi petocifrene brojeve oblika a+3+b+2+c djeljive s 45

Broj djeljiv sa 45 je djeljiv sa 9 i 5

Broj djeljiv da 5 ima zadnju cifru – cifru jedinica 5 ili 0 pa je c=0 ili c= 5

Broj djeljiv da 9 ima zbir cifara djeljiv da 9 pa je

$Čudesna matematika - Page 7 6f16a6287ece34cbeaff2edad4bb65e1b8d17c0c$

Za c=0

$Čudesna matematika - Page 7 90f6768be5eb0f950ae146015d1df9d637b29ecf$
$Čudesna matematika - Page 7 Ac039f649a64832b1de540554301cf1019e0b9ce$ je djeljivo sa 9 ako je
$Čudesna matematika - Page 7 F66f1f1926aa7da9a2dc9aa677295c2247b1e0da$
traženi brojevi su

$Čudesna matematika - Page 7 E72290eb63b8be72d0f8ec3df4b7e1f2443e6e2a$

Za c=5

$Čudesna matematika - Page 7 Afe80ed5aa8d90151671e33fbabc519492850b12$
$Čudesna matematika - Page 7 02c50afc22b61a61d8e668befad1fff462734dce$
traženi brojevi su

$Čudesna matematika - Page 7 63b3d4657ec27972559ba983eb1e2bb798abb0e6$

**Učlanjen** : 18.12.2021

(99^2+2×99+1) ^2= (x^2+2x+1) ^2

$Čudesna matematika - Page 7 F73359fb4bbb02ac5a80d9d726ce38c4d61506c7$
$Čudesna matematika - Page 7 97cbfb170678089b8b0f58c1c4f818a5303b5327$
$Čudesna matematika - Page 7 8cd174c7febcbf06fb191d326cde6a38496999b3$
$Čudesna matematika - Page 7 2c8cb6cf9fec4494989fd1dcce2969eaa32502af$
$Čudesna matematika - Page 7 Ca80ed775825343f5b39550d8393aa3aec6e59cb$

Kako smo ovo dobili
imamo kvadrat zbira
$Čudesna matematika - Page 7 F1916817e269ebf7539255d89f5db62acfbdaa67$ i
$Čudesna matematika - Page 7 207e91d01da2cdb712f24c6104f0c22abe27e227$ pa je
$Čudesna matematika - Page 7 1bee292bc1fe45439b97460816fb0b26eecf2ca5$
$Čudesna matematika - Page 7 3ac9dec0f3440184927ff7e4ce634d8f9568a468$
Ovo je razlika kvadrata
$Čudesna matematika - Page 7 Af4ea4dc3cb275984e6f298881e86d3d9e571cae$
$Čudesna matematika - Page 7 53c9e23353c578bf039b30b15d6ca0ee3cb3cd64$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Razlika kvadrata

$Čudesna matematika - Page 7 0dffba08165b80dc43e95905f128b25dd76b0f8e$ tj
$Čudesna matematika - Page 7 Cb442364350d633aa8423156ae6aab128b50ba85$

**Učlanjen** : 18.12.2021

0 (nula ili ništica) je broj, numeral i ime glifa koji predstavlja taj broj. To je cio broj koji slijedi poslije broja -1, a prethodi broju 1.

0 (nula) je broj, numeral i ime glifa koji predstavlja taj broj. To je cio broj koji slijedi poslije broja − $Čudesna matematika - Page 7 Dcc57df2284bdc6d8ef5560531a3fe0d53539b0b$ , a prethodi broju $Čudesna matematika - Page 7 5426a1608e838a5b556b6a61e4fc2f7143b6f577$ .
Nula (0) je cijeli broj koji nije ni pozitivan ni negativan.

Nula (0) nije ni parni ni neparni broj.

Bhaskara rekao je da je rezultat dijeljenja s nulom razlomak koji u nazivniku ima nulu. Taj se razlomak naziva beskonačnost. Što god radili u tom rezultatu nema promjena, kao što ni u beskrajnom i vječnom Bogu nema promjena kada neka vrsta odumire ili nova dolazi. Na taj način pokušao je opisati da je

$Čudesna matematika - Page 7 928342148895ebc86aeb43fe7e8fc2ffde49bb7e$
Na prvu se to činilo ačno. No, tada bi znaˇcilo da nula u množenju s beskonačnosti daje baš taj broj koji smo pokusali podijeliti, a to nije uvijek isti broj. IOn nije razumio dijeljenje nulom. Tvrdio je

$Čudesna matematika - Page 7 1d562e300b14890ff9318ca748dfcaf777ba9ff7$
Indijski matematičari nisu htjeli prihvatiti da se s nulom ne može dijeliti. Osim problema oko dijeljenja s nulom.

Bhaskara je tacno rekao da je

$Čudesna matematika - Page 7 A9445f67df174c162f0b8b0358bebd0991bedb89$ i $Čudesna matematika - Page 7 E6a32fe0630c2f8ccf0e7bee213011d78416573a$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Ako pomnožimo

$Čudesna matematika - Page 7 929eaf50d648ab732d016bd25a6b40529203d947$ (0 je paran broj

Faktorijel broja nula

Ako izmemo da ke

$Čudesna matematika - Page 7 8bdba805f9c2a20da2ddea5c14ce0ecb2d13e509$
$Čudesna matematika - Page 7 3fa636cbb3fe243b5fcb827f61cf67487e8bf33c$
$Čudesna matematika - Page 7 00f0dd81e7d17fbf75d89de3b94eb2aeb36ea770$
$Čudesna matematika - Page 7 A79b6923e216532532382f3e1855788d36027e89$
Sabiranje: dodavanje nule bilo kojem broju ne povećava vrijednost tom broju.

$Čudesna matematika - Page 7 Dbab2eef5d6f54f58bf8653ac942f7dffc3aeb23$

Oduzimanje nule od bilo kojeg broja ne smanjuje vrijednost tog broja.

$Čudesna matematika - Page 7 2a6df2910c1baec3075e867ffb3847493a5d7a93$

Oduzimanjem nekog broja od nule mijenja se predznak tog broja

$Čudesna matematika - Page 7 Db56d5d5d93b8229a29bc1bdbafdbed8252da0ab$

Množenje bilo kojeg broja s nulom daje proizvod jednak nuli.

$Čudesna matematika - Page 7 50a30e54357ced3d5ba1040ef6e8e3f9cee68a8a$

Dijeljenje bilo kojeg broja s nulom nema smisla, ne daje realno riješenje.

$Čudesna matematika - Page 7 490e75dcd73d20a05c1f40c2cea4874eca295e5d$

Dijeljenje nule nekim brojem različitim od nule daje nulu

$Čudesna matematika - Page 7 B59831349f59b04a2a31182d96267025bf9c06ba$

Dijeljenje nule nulom je nedefinisano

$Čudesna matematika - Page 7 B8e47e3e401174c6b71fc4d29bd66b283c1ce544$

Potenciranje: potenciranje bilo kojeg broja (različitog od nule) nulom daje rezultat 1.

$Čudesna matematika - Page 7 Aac6c0bb074af4202f57ad6e2ebe18c0554b07e5$

Potenciranje nule bilo kojim brojem različitim od nule daje nulu.

$Čudesna matematika - Page 7 43cfd0305dc4342cb5e2b49483faad79c23cc190$

Potenciranje nule nulom daje broj 1

$Čudesna matematika - Page 7 B2a399a7af06624c6130e59d76fb9182c1f99b24$ nedefinisani oblik

$Čudesna matematika - Page 7 1307b0cb5ee4013b5855e4562ed9f3028213d4ab$
$Čudesna matematika - Page 7 8580c884ea0bc34e64943b14358931fc195c20d7$

**Učlanjen** : 18.12.2021

0.999...

Periodični decimalni broj 0,9999.... , sa periodom 9 predstavlja broj 1. Predstavlja se sa $Čudesna matematika - Page 7 60a2f1ed9576a186312f4d3062bc0c827b767933$

Postoji nekoliko dokaza tvrdnje

$Čudesna matematika - Page 7 B680a606c882a9ca2b7f45d9a4836e2b82c991d6$
Posmatrajmo razlomak $Čudesna matematika - Page 7 033344d7b94889984371c9528b281931acc274d7$ . To je periodičan razlomak
. $Čudesna matematika - Page 7 089c6b72e909ac75a9efdd78151909c36387f0d7$
$Čudesna matematika - Page 7 Dda838dc4cf9619ba8e2c3d97e7865e107f86f64$
13=0,333... $Čudesna matematika - Page 7 C5f20302385299ee82f04bbcc840a95f9d04035e$
$Čudesna matematika - Page 7 26a1bcd1a5c4b81a032ed22cb417747096f200d9$
$Čudesna matematika - Page 7 0120e1eea1420779291682cb032513170b5e6303$

**Učlanjen** : 18.12.2021

Kada je broj u decimalnom zapisu pomnožen 10, cifre se ne mijenjaju, ali svaka cifra se pomiče za jedno mjesto na lijevoj strani. Tako je

$Čudesna matematika - Page 7 D99cc90c78bf7616b58870191c0a815660897a17$ , što je za 9 veći od početnog broja.

$Čudesna matematika - Page 7 7d3be5b4aca60f725a644c33662192639e4abc7c$

Decimalni zapis broja $Čudesna matematika - Page 7 10b7535bf884ad383a4ade81951b996cab1a7b3a$ definišimo kao zbir beskonačnog niza

$Čudesna matematika - Page 7 3ebc26c30542fd3358b6662b707f0ad424c75eab$

Za $Čudesna matematika - Page 7 10b7535bf884ad383a4ade81951b996cab1a7b3a$ važi teorema o konvergenciji geometrijskog niza $Čudesna matematika - Page 7 81bab263b17adc4ef4417e6dab371ba41b6362f2$

Za $Čudesna matematika - Page 7 756ef098c4aa8aabb42bdebec569f885efa61357$ važi $Čudesna matematika - Page 7 Fee8d60ed33ed71697698dc284b0ac5c8a0fffc7$

$Čudesna matematika - Page 7 38a036a010ae1206395281d50124d5a5dd00f406$

Ovaj dokaz da je $Čudesna matematika - Page 7 B570094be95093ff640264964f2ce2c5bb3c5c12$ dao je još Leonhard Euler

**Učlanjen** : 18.12.2021

$Čudesna matematika - Page 7 62a87729944d0eedd311b412e2d7d7af1b52c341$
$Čudesna matematika - Page 7 0794dc3394f18a77ad23f82b47a630482b51d899$ je konvergentan.

$Čudesna matematika - Page 7 26a493a0dbeb40a1598d3d4d2a6e933393369559$
$Čudesna matematika - Page 7 23fa9c0299fc593083e9492e03c3f061def16ea2$ . $Čudesna matematika - Page 7 2fe62c2ec78aa0ccef20ebb081c38241518da911$
$Čudesna matematika - Page 7 4867e14e845d14a6acdbb46ab0276d851fd97e35$

**Učlanjen** : 18.12.2021

kad su mu prigovorili zbog njegova siromaštva kako je filozofija beskorisna, on je – kažu – doznavši na temelju zvjezdarstva da će tê godine biti dobar urod maslinâ, već zimi s ono malo novaca što je imao veoma povoljno zakupio sve tijeskove za ulje u Miletu i na Hiju, jer nitko nije više novaca nudio. Kad je zatim pravo vrijeme došlo, i nenadano su se i istodobno tražili mnogi tijeskovi, iznajmljivao ih je po koliko je on htio, pa je, zaradivši mnoge novce, pokazao kako je filozofima lako obogatiti se, kad to ushtjednu, ali to nije ono oko čega oni nastoje. Govori se dakle kako je na taj način Tales dokazao svoju mudrost.

Herodot u Povijesti piše o tome:
»Kad je Krez stigao do rijeke Halisa, tamo je – kako ja tvrdim – preveo vojsku preko mostova što su na tom mjestu već postojali, a – prema općeprihvaćenoj priči Grka – preveo mu ju je Tal[es] iz Mileta. Naime, Krez je bio u nedoumici kako bi mu vojska prešla rijeku (jer u to se vrijeme oni mostovi još nisu ondje nalazili), a – po toj priči – Tal[es], koji je tada upravo bio u logoru, uspio mu je učiniti da rijeka koja je tekla s lijeve strane vojske počne teći s njezine desne strane; to je učinio ovako: započeo je iznad logora kopati dubok jarak u obliku polumjeseca, kako bi obuhvatio logor koji je njime bio ograđen sa stražnje strane, te je rijeku kroz taj jarak odveo iz njezina starog korita i opet ju je, zaobišavši logor, u nj vratio, pa je tako odavde bila rijeka podijeljena na dva dijela i na oba se mjesta mogla prijeći. A drugi kažu da je stari tok rijeke sasvim presušio. No u to ne vjerujem: kako bi ga u tom slučaju prešli na povratku?«
Herodot se prisjeća Talesove mudrosti u javnim stvarima i u drugim prilikama: on je, predviđajući da će pojedine grčke gradove u Maloj Aziji pokoriti Perzijanci, »predlagao Jonjanima da osnuju jedinstveno vijeće, smješteno u Teju (naime, Tej je središnja točka Jonije), a da se ostali gradovi i dalje jednako naseljavaju, premda bi se smatrali samo općinama«.
Platon, i Diogen Laertije opisuju zgodu kada je Tales jedne noći tako zadubljen motrio zvijezde, da nije vidio kuda hoda, te je pao u jamu (ili bunar). Zvao je u pomoć, na što mu se neka duhovita robinja, Tračanka, (prema Diogenu Laertiju, starica) narugala: »E, Talese, ti nisi kadar vidjeti što ti je pred nogama, a htio bi spoznati što je na nebu.«
Talesu se pripisuju sljedeći citati:
»Najstarija od svih stvari je bog, jer on se nije rodio.«»Najljepša stvar je svijet, jer je djelo božje.«»Najveći je prostor, jer on obuhvaća sve stvari.«»Najbrži je um, jer on trči svuda.«»Najsilnija je nužda, jer ona vlada svima.«»Najmudrije je vrijeme, jer ono pronalazi sve.«
Govorio je da se smrt i život ne razlikuju. Na pitanje »Zašto onda ne umre?«, odgovorio je: »Zato što nema nikakve razlike.«

Na pitanje »Što je bilo prije, noć ili dan?«, odgovorio je: »Noć je za jedan dan starija«.
Na pitanje »Može li čovjek sakriti zlo djelo od boga?«, odgovorio je: »Ne, pa čak ni samu misao.«
Na pitanje »Što je teško?«, odgovorio je: »Spoznati samoga sebe.«
Na pitanje »Što je lako?«, odgovorio je: »Dati drugome savjet.«
Na pitanje »Što je najugodnije?«, odgovorio je: »Uspjeh.«
Na pitanje »Što je božansko?«, odgovorio je: »Ono što nema ni početka ni kraja.«
Na pitanje »Što je najneobičnije?«, odgovorio je: »Tiranin u godinama.«
Na pitanje »Kako čovjek najlakše može podnijeti nesreću?«, odgovorio je: »Kad vidi da su njegovi neprijatelji u gorem položaju.«
Na pitanje »Kako najbolje živjeti?«, odgovorio je: »Ako sami ne činimo ono što kod drugih osuđujemo.«
Na pitanje »Tko je sretan?«, odgovorio je: »Onaj tko ima zdravo tijelo, okretan duh i pristupačnu prirodu.«

» Čudesna breskva
» Čudesna mašine
» Da li vam je matematika bila ili je -bauk-?
» Dubai
» Matematika kroz igru i zabavu