1.1 Razdvojene promenljive![Diferencijalne jednacine Diffeq001](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq001.gif)
![Diferencijalne jednacine Diffeq002](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq002.gif)
U opštem slučaju:
1.2 Homogena diferencijalna jednačina![Diferencijalne jednacine Diffeq004](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq004.gif)
Smenom:
![Diferencijalne jednacine Diffeq005](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq005.gif)
polazna jednačina postaje:
![Diferencijalne jednacine Diffeq006](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq006.gif)
tj. diferencijalna jednačina oblika.
**Primedba** - Diferencijalna jednačina oblika:
![Diferencijalne jednacine Diffeq007](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq007.gif)
gde je a, b, c, A, B, C = const, može se svesti na jednačinu oblika .
Moguća su dva slučaja:
1. SlučajAko je
![Diferencijalne jednacine Diffeq008](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq008.gif)
smenom:
![Diferencijalne jednacine Diffeq009](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq009.gif)
jednačina postaje:
![Diferencijalne jednacine Diffeq010](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq010.gif)
Sistem jednačina:
![Diferencijalne jednacine Diffeq011](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq011.gif)
ima rešenje po
a i
b pa jednačina postaje:
![Diferencijalne jednacine Diffeq012](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq012.gif)
a to je jednačina oblika .
2. SlučajNeka je
![Diferencijalne jednacine Diffeq013](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq013.gif)
, tj.
![Diferencijalne jednacine Diffeq014](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq014.gif)
gde je
k konstanta. Smenom
![Diferencijalne jednacine Diffeq015](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq015.gif)
, gde je
u nova nepoznata
f-ja promenljive
x. Jednačina postaje:
![Diferencijalne jednacine Diffeq016](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq016.gif)
odnosno jednačina oblika .
1.3 Linearna diferencijalna jednačina![Diferencijalne jednacine Diffeq017](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq017.gif)
Ako je
![Diferencijalne jednacine Diffeq018](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq018.gif)
jednačina se naziva homogena linearna diferencijalna jednačina.
1. SlučajHomogena jednačina:
![Diferencijalne jednacine Diffeq019](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq019.gif)
za
![Diferencijalne jednacine Diffeq020](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq020.gif)
postaje:
![Diferencijalne jednacine Diffeq021](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq021.gif)
tj. jednačina oblika čije je rešenje:
![Diferencijalne jednacine Diffeq022](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq022.gif)
Može se uzeti
![Diferencijalne jednacine Diffeq023](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq023.gif)
kao rešenje jednačine.
2. SlučajDa bi rešili pretpostavimo
![Diferencijalne jednacine Diffeq024](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq024.gif)
:
![Diferencijalne jednacine Diffeq025](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq025.gif)
![Diferencijalne jednacine Diffeq026](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq026.gif)
ako se
jn-e i zamene u dobija se:
![Diferencijalne jednacine Diffeq027](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq027.gif)
odnosno:
![Diferencijalne jednacine Diffeq028](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq028.gif)
pa je opšte rešenje jednačine:
![Diferencijalne jednacine Diffeq029](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq029.gif)
U eksplicitnom obliku opšte rešenje jednačine dato je kao:
![Diferencijalne jednacine Diffeq030](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq030.gif)
tj. rešenje je izraženo kao linearna funkcija integracione konstante.
1.4 Bernulijeva jednačina![Diferencijalne jednacine Diffeq031](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq031.gif)
Gde je
![Diferencijalne jednacine Diffeq032](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq032.gif)
, za
![Diferencijalne jednacine Diffeq033](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq033.gif)
jednačina postaje linearna.
Uvođenjem smene
![Diferencijalne jednacine Diffeq034](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq034.gif)
, gde je
z nova nepoznata
f-ja a
k konstanta, jednačina postaje:
![Diferencijalne jednacine Diffeq035](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq035.gif)
![Diferencijalne jednacine Diffeq036](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq036.gif)
Konstantu
k treba izabrati tako da je:
![Diferencijalne jednacine Diffeq037](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq037.gif)
Posle ove smene jednačina glasi:
![Diferencijalne jednacine Diffeq038](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq038.gif)
a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:
![Diferencijalne jednacine Diffeq039](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq039.gif)
Prema tome, opšte rešenje Bernulijeve jednačine može se izraziti u eksplicitnom obliku:
1.5 Rikartijeva jednačina![Diferencijalne jednacine Diffeq041](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq041.gif)
Za
![Diferencijalne jednacine Diffeq042](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq042.gif)
jednačina postaje Bernulijeva jednačina , odnosno linearna jednačina . U opštem slučaju jednačina se ne može rešiti.
Ako je poznato jedno partikularno rešenje može se dobiti i opšte rešenje jednačine .
Smenom
![Diferencijalne jednacine Diffeq043](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq043.gif)
, gde je
y1(x) jedno partikularno rešenje a
z nova nepoznata
funkcija jednačina postaje:
![Diferencijalne jednacine Diffeq044](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq044.gif)
![Diferencijalne jednacine Diffeq045](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq045.gif)
a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:
![Diferencijalne jednacine Diffeq046](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq046.gif)
Prema tome opšte rešenje Rikartijeve jednačine ima oblik:
![Diferencijalne jednacine Diffeq047](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq047.gif)
gde je
C proizvoljna konstanta a
F, G, H i K određene
funkcije.
1.6 Klerova jednačina![Diferencijalne jednacine Diffeq048](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq048.gif)
Smenom
![Diferencijalne jednacine Diffeq049](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq049.gif)
jednačina postaje:
![Diferencijalne jednacine Diffeq050](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq050.gif)
odakle se, nakon diferenciranja po x, dobija:
1. SlučajAko je
![Diferencijalne jednacine Diffeq052](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq052.gif)
pa na osnovu jednačine opšte rešenje jednačine ima oblik:
2. SlučajAko je
![Diferencijalne jednacine Diffeq054](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq054.gif)
eliminacijom p iz jednačina
![Diferencijalne jednacine Diffeq055](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq055.gif)
dobija se singularno rešenje jednačine koje nije izraženo u opštem rešenju.
1.7 Lagranževa jednačina![Diferencijalne jednacine Diffeq056](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq056.gif)
Ova jednačina se rešava slično kao i Klerova. Posle smene
![Diferencijalne jednacine Diffeq049](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq049.gif)
jednačina dobija oblik:
![Diferencijalne jednacine Diffeq057](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq057.gif)
odakle se, nakon diferenciranja, dobija:
![Diferencijalne jednacine Diffeq058](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq058.gif)
![Diferencijalne jednacine Diffeq059](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq059.gif)
Ako je
![Diferencijalne jednacine Diffeq060](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq060.gif)
jednačina je Klerova, pretpostavimo onda da je
![Diferencijalne jednacine Diffeq061](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq061.gif)
tada jednačina postaje:
![Diferencijalne jednacine Diffeq062](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq062.gif)
a to je linearna jednačina. Jednačina ima rešenje oblika
![Diferencijalne jednacine Diffeq063](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq063.gif)
pa je opšte rešenje Lagranževe jednačine u parametarskom obliku:
1.8 Jednačina prvog reda drugog stepena![Diferencijalne jednacine Diffeq065](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq065.gif)
Ako se jednačina može napisati u obliku:
![Diferencijalne jednacine Diffeq066](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq066.gif)
tada se rešavanje jednačine svodi na rešavanje dve jednačine prvog stepena:
![Diferencijalne jednacine Diffeq067](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq067.gif)
Opšta rešenja ovih jednačina su
![Diferencijalne jednacine Diffeq068](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq068.gif)
pa je opšte rešenje jednačine :
![Diferencijalne jednacine Diffeq069](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq069.gif)
gde je
C proizvoljna konstanta.
1.9 Totalni diferencijal![Diferencijalne jednacine Diffeq070](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq070.gif)
gde funkcije
P i
Q imaju neprekidne parcijalne izvode po
x i
z. Ako postoji
funkcija u(x,y) takva da važi:
![Diferencijalne jednacine Diffeq071](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq071.gif)
tada se jednačina naziva jednačina sa totalnim diferencijalom, ili egzaktna diferencijalna jednačina..
Opšte rešenje egzaktne diferencijalne jednačine određeno je relacijom:
![Diferencijalne jednacine Diffeq072](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq072.gif)
gde je
C proizvoljna konstanta.
Da bi se odredila funkcija u, za koju važi , treba poći od jednakosti:
![Diferencijalne jednacine Diffeq073](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq073.gif)
odakle se, upoređivanjem sa dobija:
![Diferencijalne jednacine Diffeq074](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq074.gif)
odnosno:
![Diferencijalne jednacine Diffeq075](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq075.gif)
Ovi mešoviti izvodi su po pretpostavci neprekidni pa su i jednaki, pa je, prema tome,
![Diferencijalne jednacine Diffeq076](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq076.gif)
potreban uslov da jednačina bude sa totalnim diferencijalom.
Ako je ovaj uslov ispunjen iz prve jednačine u dobija se:
![Diferencijalne jednacine Diffeq077](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq077.gif)
gde je
f(y) neprekidna
funkcija. Diferenciranjem izraza dobija se:
![Diferencijalne jednacine Diffeq078](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq078.gif)
![Diferencijalne jednacine Diffeq079](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq079.gif)
Druga jednačina u i jednačina daju:
![Diferencijalne jednacine Diffeq080](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq080.gif)
gde je
K proizvoljna konstanta.
Konačno se dobija:
![Diferencijalne jednacine Diffeq081](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq081.gif)
pa je opšte rešenje jednačine dato sa:
![Diferencijalne jednacine Diffeq082](https://2img.net/h/www.svetnauke.org/equations/diffeq082.gif)
gde je
C proizvoljna konstanta.
svetnauke.org