Fibonacijevi brojevi i Paskalov trougao

Brojevi Piramide i Biblije
                   
           
Prema tradicionalnoj misli sve je na ovom svetu medjusobno zavisno a brojevi su tvorovi u kojima se sticu ta mnostva veza. Svojevremeno je Pitagora govorio kako priroda geometrizira. Broj je smatrao sredstvom saznanja a blisko mu je i povezivanje kosmickih ritmova i samih brojeva. Pitagora i pitagorejci, dovode broj u vezu sa nebeskim i muzickim sferama dok u zlatnom preseku vide kljuc proporcija zivih bica. Platon je shvatao tumacenje brojeva kao najvisi stepen saznanja i kao sustinu kosmickog i unutrasnjeg sklada. Brojevi, geometrijske figure i proporcije javljaju se kao jezik organske i neorganske prirode, kao trag Tvorca.

Na nebu sneg pada, mozemo videti pahulje. Sagradjene su u istom osnovnom obliku, pravilnom sestouglu. Samo kvadrat, jednakostranican trougao i pravilan sestougao, prekrivaju povrsinu bez praznina. Sestougao srecemo i u gradji pcelinjeg saca. Priroda je izabrala onaj oblik koji pcelama pruza najvecu mogucnost kretanja.Gnezda lasta i drozdova imaju oblik polulopte. Spirale su najcesci oblik zivih bica. Dok se odmara zmija se savija u takozvanu Arhimedovu spiralu. Puz svoju kucu gradi u obliku savrsene logaritamske spirale. U obliku spirale uvrcu se rogovi ovnova i antilopa. Kod coveka usna skoljka ima oblik konusne spirale. Mnoge su galaksije spiralnog oblika.

Stari narodi su verovali da su brojevi postojali pre ljudske svesti. Brojeve nije izmislio covek, nego oduvek postoje, covek ih je samo otkrio.Brojevi su najosnovniji element sredjivanja u ljudskom umu te ih covekova podsvest upotrebljava kao arhetipove sredjivanja. Prema nekima oni kriju nepoznatu i carobnu snagu. Verovalo se da brojevi kao i imena, kada se izgovore, premestaju sile koje stvaraju struju, poput podzemnog toka, nevidljivu ali prisutnu. Rec je uvek uticala na ljude, njena je moc ogromna ali je moc broja jos veca: ako je rec o objasnjenju znaka, broj mu je skriveni koren. Otuda i vaznost brojnog simbolizma slova koja se javlja jos u Egiptu a dostize svoj vrhunac kod Jevreja. Sustina jevrejske misticne tradicije stice se u ezoterickom ucenju poznatom pod imenom Kabala.

Sama rec "Kabala" - jevrejskog je porekla i znaci "primati", oznacava tradiciju ili posvecenje. "Kabala" kao sistem podrazumeva postojanje nivoa zajednicke, neizdiferencirane, svesti kao izvorista i tajnog pokretaca stvarnosti. Njen izraz se podudara sa opstim brojnim i logickim zakonitostima Univerzuma,te na kraju kao Logos ona odredjuje izgovoreno i misljeno preko brojnih vrednosti svakog recenog slova. Doktrina je dobila svoj konacni oblik u Spaniji i Juznoj Francuskoj, ali njeni koreni sezu do Egipta i nadahnjuju i prorocki misticizam Starog Zaveta.


                                         
Tajne su brojeva skrivene u Keopsovoj piramidi ali i u Mojsijevom Petoknjizju kao duhovnom ekvivalentu velike piramide. Velika piramida u Gizi nije uzalud nazvana Prvim Svetskim cudom. Preko cetiri hiljade godina ona je najvisi monument ikada sagradjen. Sa njom se po visini mogu ravnjati najvise evropske katedrale sagradjene u kasnom sesnaestom veku. Sve do danasnjih dana ona je najveci kameni spomenik na svetu.
           
Procenjeno je da je priblizno 2 300 000 blokova upotrebljeno da se sagradi velika piramida.Svaki je tezak 2,5 tone cineci tako ukupnu masu od 5,75 miliona tona. Mnogi od tih blokova su iz lokalnih kamenoloma, ali su za faraonovu grobnicu takodje korisceni granitni blokovi iz Asuana. To su 5,5 metara dugi granitni komadi teski 25 i 40 tona.Prvi hodnik koji vodi u grobnicu faraona Keopsa je duzine 2,88 m, visine 1,05 m, sirine 1,06 metara. Sama grobna odaja je duzine 2,95 metara, visine 3,79 metara i sirine 1,65 metara. Istocni, juzni i zapadni zidovi grobnice su uradjeni od crvenog granita. Drugi hodnik je dug 2,56 metara, visine 1,05 metara i sirine 1,06 metara. U centru grobnice je sarkofag.Njegova spoljasnja duzina je 2,28 metara a unutrasnja 1,98 metara.Spoljasnja sirina je 0,98 metara a unutrasnja 0,68 metara.

Spoljne mere Keopsove piramide su sledece : - njena danasnja visina je 137,2 metra a prvobitna visina je procenjena na 146,64 metara. Duzina severne osnove piramide je 230,25 metara, juzne 230,25 metara, istocne osnove je 230,39 metara i zapadne 230,36 metara.Vidljiva visina piramide odgovarala je najmanjem rastojanju Zemlje od Sunca - 147 miliona km. Verovatno je piramida sezala jos pet metara ispod zemlje sto ukupno iznosi 152 metara i odgovara maksimalnoj udaljenosti Zemlje od Sunca - 152 miliona km.

           Piramidu u Gizi je gradio Keops, egipatski faraon iz cetvrte dinastije, oko 2 600 godine pre nove ere. Po Herodotu, tu najvecu piramidu gradilo je oko 100 000 ljudi tokom 20 godina. Kazu da piramida sadrzi proporcije Suncevog sistema kao makrokosmosa i brojeve coveka kao mikrokosmosa


                             

Kada umetnik definise vrhunsku estetiku , svesno ili nesvesno, koristi proporciju zlatnog preseka jer ona izrazava prirodnu ravnotezu i dinamicku simetriju. Zlatni presek je spoljasnja proporcija i ljudskog tela. Zato je kroz istoriju i sluzila kao uzor slikarima, arhitektama, muzicarima i ostalim stvaraocima. Oni na taj nacin postuju veliki zakon kosmicke analogije. Tako stvaraju u kontinuitetu sa Tvorcem i Prirodom.

                 Savremeni istrazivaci piramida smatraju da je zlatni presek osnovna proporcija piramide a kasnije i Grckog Partenona i Gotskih katedrala. Leonardo Da Vinci, Mondrijan, Dali i ostali na taj nacin nastavljaju stvaralastvo starih Egipcana i Grka.


milan.milanovic.org

Fibonačijev niz

Fibonačijev niz je matematički niz primećen u mnogim fizičkim, hemijskim i biološkim pojavama. Ime je dobio po italijanskom matematičaru Fibonačiju. Predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule a prva dva člana su mu 0 i 1.




To jest: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Zlatni Presek        

Zlatni presek se javlja kao proporcija rastucih oblika u prirodi i vekovima je privlacio paznju matematicara i umetnika. Odnos Zlatnog preseka se dobija ako se jedna duz podeli na takav nacin da je odnos veceg dela prema celom isti kao i odnos manjeg dela prema vecem: 0.6180339887 ... Koristicemo kao oznaku za Zlatni Presek Grcko slovo phi. Takodje, koristicemo slovo Phi za inverznu vrednost 1.6180339887... Neprekidnu podelu zlatnog preseka zapazamo u samoj prirodi na mnostvu biljaka, koliko u opstem sklopu, toliko i u njihovim delovima, cvetovima, listovima ( na primer ljutic, rastavic itd.) a u zapanjujucem savrsenstvu u ljusturama morskih puzeva. Zlatni presek se jasno manifestuje u sklopu covecjeg tela. Proporcionisanje covecje figure sastoji se u sto tacnijoj konstrukciji zlatnog preseka u neprekidnom odmeravanju minora na majoru i u primeni ovako dobijenih mera na odgovarajuce delove i dimenzije tela.

Danas je opste prihvaceno misljenje da je grcki arhitekta primenjivao zlatni presek kao najlepsu proporciju za najskladnije oblike arhitekture. Proporcija zlatnog preseka je trazeni zakon lepote koji se nalazi u srazmernosti izmedju pojedinih delova i delova prema celini. Kroz istoriju pravougaonik stranica 1 i 1.6180339887... smatran je najprijatnijim za oci.Grcki vajar Fidija izgradio je Partenon i mnoge figure na njemu. Prisutna je proporcija zlatnog preseka u njegovim radovima koji su pronadjeni u Atini, u Grckoj.


Fibonacijevi brojevi se javljaju u rasporedu listova zato sto Fibonacijevi brojevi grade najbolju celobrojnu aproksimaciju za Zlatni Presek. Deleci svaki broj u Fibonacijevoj seriji sa onim koji mu prethodi, dolazimo do sledecih brojnih odnosa :

1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.666666666
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 = 1.615384615
34/21 = 1.619047619
55/34 = 1.617647059
89/55 = 1.618181818
....................... ....................... ......................
Dobijamo odnose koji u beskonacnosti teze vrednosti Zlatnog Preseka.

Deleci svaki broj u Lukasovoj seriji sa onim koji mu prethodi, doci cemo do sledeceg niza brojnih odnosa :

3/1 = 3
4/3 = 1.3333333333
7/4 = 1.75
11/7 = 1.571428571
18/11 = 1.636363636
29/18 = 1.611111111
47/29 = 1.620689655
76/47 = 1.617021277
123//76 = 1.618421053
199/123 = 1.617886179
......... ......... .........

Na ovaj nacin se takodje dobijaju odnosi koji u beskonacnosti teze vrednosti Zlatnog Preseka :        

Phi dato sa nekoliko hiljada decimalnih mesta :

Phi ima vrednost (sqrt(5)+1)/2 a phi je (sqrt(5)-1)/2 .I Phi i phi imaju identicne decimalne cifre posle decimalne tacke. Vrednost za phi pocinje sa 0.6... umesto sa 1.6...

Mehanizam neprekidne podele ili zlatnoga preseka igra posebnu ulogu u likovnom stvaralastvu, a ponajvise u oblasti apstraktnih geometrijskih oblika, kombinovanih kroz konstrukciju, funkciju i merilo coveka u odredjene prostorne celine. U sesnaestom veku Luka Pacoli (1445-1514), geometar i prijatelj velikih Renesansnih slikara, ponovo je otkrio " zlatnu tajnu". Luka Pacoli je bio veliki pobornik ideje zlatnog preseka, sto se vidi iz imena njegove rasprave o " Bozanskoj Proporciji " koja se sastoji iz tri nezavisna rada ( 1509 ). Leonardo Da Vinci (1451-1519) je pokazao veliki interes za matematiku umetnosti i prirode. On je, kao i Pitagora, uradio kompletnu studiju figure coveka i pokazao kako su njeni razliciti delovi u proporciji zlatnog preseka.

Dok u muzici dobro poznavanje nauke o harmoniji prethodi vestini komponovanja, dotle u likovnim umetnostima i arhitekturi, preovladjuje misljenje da poznavanje proporcija nije neophodno pa da cak i sputava intuitivni tok slobodnog stvaralastva. Ipak najistaknutiji savremeni arhitekti pobijaju takvo misljenje. Na mnogim danasnjim svetskim skolama za arhitekturu i primenjenu umetnost, problemu proporcija u kompoziciji posvecuje se ozbiljna paznja.

A. Cajzing ( 1810-1876 ) je formulisao slozen estetski sistem zlatnog preseka svodeci ga na arhitekturu: zlatni presek gospodari u arhitekturi, zlatni presek gospodari u prirodi; zlatni presek gospodari u arhitekturi zato sto gospodari u prirodi. Zoltovski misli da je kreacija arhitekte deo stvaralastva prirode.


milan.milanovic.org

Fibonačijev misaoni eksperiment sa zečevima

U vreme kada se nauka razvija u sterilnim labaratorijskim uslovima, putevi koji su vodili do otkrića u prošlosti danas se čine zapanjujućim, možda i pomalo čudnim. Jedno od takvih priredio nam je Leonardo Fibonači (Leonardo Fibonacci), srednjovekovni matematičar takođe poznat pod imenima Leonardo iz Pize (Leonardo of Pisa) i Leonardo Bigolo ( Leonardo Bigollo), kako je sam sebe nazivao.


Na velika vrata matematike Leonardo je zakucao uz pomoć svog oca. Giljermo Bonači (Guglielmo Bonacci), koji je bio sekretar Republike Pize i odgovoran za upravljanje Pizine trgovačke kolonije Buđa (Bugia) u Alžiru, poveo je svog sina u daleku zemlju da bi ga naučio računu i arapskim ciframa koje se u to vreme još uvek nisu upotrebljavale u Evropi. Putovanje Fibonačija međutim tu se nije završilo. Provodeći vreme u zemljama mediteranske obale, Egiptu, Siriji, Grčkoj, Siciliji i Provansi, sticao je znanje iz raznih matematičkih tehnika da bi kada se konačno ponovo vratio u Pizu 1200. godine, počeo objavljivati i sopstvena dela. Fibonači je dao značajan doprinos razvoju matematike u Evropi objavljujući u svojim knjigama gotovo sva algebarska i aritmetička znanja tog vremena. U “Knjizi o računu” (Liber abbaci), koje je njegovo najpoznatije delo, govori o devet indijskih znakova 9 8 7 6 5 4 3 2 1 uz pomoć kojih se, uz upotrebu znaka 0, može napisati bilo koji broj, objašnjava prirodu hindu – arapskih brojeva, njihovu upotrebu u računanju razlomaka, kao i njihovu primenljivost u praktičnim trgovačkim problemima.

Ono po čemu je Fibonači danas ipak najviše poznat jeste otkriće tzv. Fibonačijevog niza. Zanimljiv je način na koji je do njega došao, međutim pre nego što priča krene u tom pravcu, valjalo bi objasniti sam pojam. Fibonačijev niz je vrsta rekurzivnog niza koji počinje sa brojevima 0 i 1, a zbir dva prethodna člana daje uvek sledeći broj. Na taj način dobija se niz sastavljen od sledećih brojeva  za koji će se kasnije ispostaviti da je povezan sa mnogim prirodnim procesima, a da sam Fibonači to možda nije ni pretpostavljao.

Matematičar je došao do otkrića istražujući zakone razmnožavanja životinja, posebno zečeva. Postavljeni uslovi misaonog eksperimenta su bili sledeći. Eksperiment počinje sa jednom ženkom i jednim mužjakom koji su tek rođeni. Za mesec dana zec postaje zreo za oplodnju. Gesticijski period zeca traje  mesec dana. Pretpostavljamo da će ženka uvek na svet doneti jednog muškog i jednog ženskog zeca. Takođe, pretpostavljamo da zečevi nikada ne umiru.

Dakle: “Koliko parova zečeva će reprodukovati jedan par za godinu dana ako se pretpostavi da svakog meseca jedan par rodi novi par koji za dva meseca postane reproduktivan?”

Misaoni eksperiment  Fibonačija je doveo do sledećeg rezultata:

-         Na početku imamo jedan par zečeva.

-         Nakon mesec dana zečevi će dostići zrelost za oplodnju, ali se još uvek neće okotiti, tako da  postoji jedan par zečeva.

-         Kada prođe dva meseca, na svet dolazi jedan par zečeva, što znači da ukupno imamo dva para.

-         Nakon trećeg meseca prvi par se ponovo razmnožava i daje jedan par zečeva dok drugi par postaje zreo za oplodnju. U skladu sa tim imamo tri para zečeva.

-         Nakon četvrtog meseca prvi par ponovo daje novi par zečeva, drugi par takođe, treći par tek dostiže polnu zrelost. Iz toga proizilazi da imamo pet parova zečeva.

-         Nakon petog meseca svaki par koji je živeo do pre dva meseca daje novi par tako da je konačni broj parova zečeva jednak broju osam.



Konačni redosled brojeva do kojih je Fibonači došao nakon pet meseci rada je  takav da nakon prvog i drugog meseca imamo jedan par zečeva, nakon trećeg meseca imamo tri para zečeva, nakon četvrtog pet parova zečeva itd.

Tek u XIX veku ovaj niz brojeva je Edvard Lukas (Edward Lucas) oslovio sa Fibonačijevi brojevi. Danas se zna da Fibonačijevi brojevi igraju ulogu u brojnim prirodnim procesima. Kao primer možemo navesti proces raspoređivanja listova oko stabljike biljaka. U toku rasta oni se raspoređuju  u obliku spirale oko stabljike, a Fibonačijevi brojevi se javljaju kao količnik broja zaokreta spirale i broja međuprostora između listova. Pravilan raspored nastao je iz potrebe da donji listovi na stabljici ne ostanu zasenjeni gornjim, tj. da bi se svetlost na najbolji mogući način iskoristila.

Na kraju, opis ovog Fibonačijevog poduhvata možda je najbolje upotpuniti rečima Ludviga Bolcmana (Ludwig Boltzmann): “Najpraktičnije od svega je teorija”. Ja bih rekla, najbolji eksperimenti su misaoni.

Dragana Mandić

FIBONAČIJEV NIZ I BROJ FI


U matematici, Fibonačijev niz je niz brojeva u kome su prva dva broja 0 i 1, a svaki sledeći je zbir prethodna dva broja. Dakle, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Iako je vekovima ranije proučavan u Indiji, ime je dobio po izvesnom italijanskom srednjevekovnom matematičaru Fibonačiju (Leonardo Pisano Bigollo (1170 – 1250)), koji je ovaj niz predstavio zapadnjačkoj nauci. Brojevi u nizu su usko povezani sa zlatnim presekom i brojem fi (13/8 = 1,625, 8/5 = 1,6, 5/3 = 1,67…).

Ovaj niz je veoma važan za matematiku i danas ima praktičnu primenu u informatici (konkretno u tehnikama pretraživanja i organizovanja podataka) ali mnogo zanimljivije je pojavljivanje u prirodi (i muzici!).

Zbir kvadrata brojeva bilo koje dužine Fibonačijevog niza je jednak proizvodu poslednjeg korišćenog broja i njegovog sledbenika, tj: 12 + 12 + . . . + F(n)2 = F(n) * F(n+1) a kroz primer to izgleda ovako: 12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 5 * 8. Zašto smaram sa ovim? Pa zato što je ovaj odnos u zlatnoj spirali koju viđamo u galaksijama i puževima (uključujući i koščicu “puž” u ušima).


Zlatna spirala i Nautilus

DNK takođe poseduje sličnu zakonitost, odnos visine i širine je 21:34 (angsterma). Osim spiralnih galaksija i međusobna rastojanja planeta u svojim sistemima određena su po udaljenosti prethodnih planeta. Kod biljaka, grananje, cvetanje, listanje, pupoljci… sve je povezano sa sličnom zakonitosti. Neke bolesti (mononukleoza) napreduju sa istim vremenskim intervalima, pčele uvek imaju isto poređan broj muških predaka, šišarke… Fibonači je neiscrpna tema…


Galaksija i Suncokret




erudijum36.com

mislim da ovde fali Pascalov trougao, zato da nastavimo s gradivom 

prvih 6 redova Paskalovog trougla

Prirodni i trouglasti brojevi u Pascalovom trouglu

Pascalov trougao


S Wikipedije, slobodne enciklopedije


Pascalov trougao je termin prema autoru djela Traité du triangle arithmétique (Rasprava o aritmetičkom trouglu) koje je objavljena posthumno u 1665. U njemu je Pascal prikupio nekoliko ondašnjih znalaca o trokutu i zaposlio ih na rješavanju problema u teoriji vjerovatnoće. Trougao je po Pascalu kasnije nazvao Pierre Raymond de Montmort (1708.), koji je pod nazivom "Table de M. Pascal pour les combinaisons" (francuski: Tabela gospodina Pascal za kombinacije) i Abraham de Moivre (1730.), koji je pod nazivom "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM", koji je postao moderni oblik zapadnjačkog imena.

U matematici, Pascalov trougao je tako uobličeni niz binomnih koeficijenta, tj. trougao od niza ekspanzije binoma (1 + 1)n. U zapadnom svijetu ga je imenovao francuski matematičar Blaise Pascal, iako su ga drugi matematičari studirli stoljećima prije njega u Indiji. Iranu, Kini, Njemačkoj i Italiji.

Redovi Pascalovog trougla su konvencionalno poredani počevši od reda n = 0 na vrhu. Svi unosi u svakom redu su numerirani na lijevoj strani, uz početak sa k = 0 i obično približeni brojevima u odgovarajućem redu. Jednostavna konstrukcija trougla ide slijedećim tokom. Na redu 0, upiše se samo broj  1. Za konstrukciji elemenata slijedećih redova slijedi model: svaki red počinje brojem 1, koji se upisuje jedno mjesto ispred 1 prethodnog reda, a naredni broj se dobija zbrajanjem dva susjedna iz prethodnog. Na primjer, prvi broj u prvom redu je 1 (zbir 0 i 1), dok su brojevi 1 i 3 u trećem redu dodaju da proizvedu broj 4 u četvrtom redu.




onda



za bilo koju ne-negativni cijeli broj n i bilo cijeli K između 0 i n . [4] Pascalov trougao ima višedimenziske generalizacije. Trodimenzijska verzija se zove Pascalova piramida ili Pascalov tetraedar, dok je opšta verzije nazivaju Pascalove jednadžbe.

pojednostavljeno, Paskalov trougao daje koeficijente binomnog poučka