Istorija matematike Indije

Citat :

”Dubina indijske misli je jedna nesumnjiva realnost ali njena veličina je u tačnoj dijagnozi o ograničenosti razuma i u metodama kojima se prevazilaze slabosti diskurzivne logike a ne u razvoju logike i razuma per se”

Amori d’Reinkur “DUH INDiJE”

Indijska matematika je nastala na prostoru južne indije od vremena praistorije do 18. veka. U tom periodu postojalo je nekoliko zaista genijalnih matematičara tog prostora danas nažalost zapostavljenih kao što su Panini, Arijabata, Baskara II….

U Indiji su se u ranom periodu proučavali negativni brojevi, aritmetika, algebra i trigonometrija (pre i više nego kod Helena). Tako da je tada razvijen decimalni sistem kakav sada poznajemo , koncept nule kao broja kao i moderne definicije sinusa i kosinusa.Kasnije od klasičnog perioda do 18. veka postignut je i ogroman napredak u:

• aritmetici ( moderni pozicioni brojni sistem notacije , teorija brojeva , beskonačnost, transfinitni brojevi , iracionalni brojevi),
  
• geometriji (kvadratni koren, kubni koren, pitagorina teorema bez dokaza , pitagorina trojka)
  
• algebri (jednaičine drugog trećeg i četvrtog stepena )
  
• matematičkoj logici ( formalna-matematička gramatika , rekurzija )
  
• opštoj matematici (logaritmi , rae verzije morzeove azbuke , fibonačijevi brojevi )
  
• trigonometriji (trigonometrijski nizovi , trigonometrijske funkcije arccos, arcsin ,tng ,arctn …)
  

A uspeli su i da dva veka pre evrope definišu stepeni red kao i da daju osnove diferencijalnog i integralnog računa, ali nisu imali sistematizovanu teoriju.

Rani naučni radovi pravljeni su na Sanskritu koji su se nalazili u delovima Sūtra, u kojima su iznošeni problemi ili pravila u stihu da bi se olakšalo pamćenje učenicima. Zatim je sledeo drugi deo u kome se nalazio prozni komentar (nekada i više komentara raznih profesora) koji su sa mnogo više detalja objašnjavali problem ili opravdavali rešenje. Međutim prozni deo se nije toliko cenio već više sama ideja. Do otprilike 500 godine p.n.e svi tekstovi su prenošeni usmeno a od tada i usmeno ali i u rukopisima. Najstariji originalni matematički dokument do sada pronađen je Bakšali rukopis pronađen 1881 u istoimenom selu. Pronašao ga je slučajno jedan farmer u svom dvorištu, ali samo delove. Rukopis se nalazi na brezinoj kori i sadrži razne algoritme kao i načine rešavanja raznih problema kao što je nalaženje kvadratnog korena ili deljenje negativnim brojevima. Tačna starost nije utvrđena a pretpostavke se kreću od II veka stare do VII. veka nove ere.


Primer:



Ako uzmemo N = 41, tada je n = 6, r =5. Dobijamo da je . Današnja vrednost je 6.403124237.


Usmena tradicija

Skoro svi matematičari drevne indije su bili panditi (učeni ljudi), koji su učili na sanskritu i posedovali veliko znanje gramatike, egzegeze (kritike ) i logike. Pamćenje onoga što su čuli kroz recitacije je bilo od velikog značaja u prenošenja svetih tekstova , pa današnji istoričari drevne indije kažu da je zaista neverovatno postignuće indijskih pandita to da su preneli toliko ogromno znanje tokom milenijuma.

Naravno oni su imali razne stilove pamćenja, pa tako neki delovi veda imaju i po 11 načina recitovanja.

Neki od načina recitovanja su jaṭā-pāṭha gde se reči recituju po normalnom redu, pa onda po obrnutom pa posle ponovo po originalnom:

reč1reč2, reč2reč1, reč1reč2; reč2reč3, reč3reč2, reč2reč3; …

ili dhvaja-pāṭha gde se sparuju prve dve i zadnje dve reči :

reč1reč2, reč(N-1)rečN; reč2reč3, reč(N-3)reč(N-2)….



svetnauke.org

Matematičar i astronom rođen 1114. godine na prostoru današnje jugoistočne Indije i bio vođa istog observatorijuma Ujjain koji je dugo bio centar indijske matematike kao i Bramagupta 500 godina pre njega , čak se i predpostavlja da su bili rod, a on je umro 1185 godine . Najjznačajnija su mu 3 rada Lilavati (aritmetika) Bijaganita (algebra) i Siddhanta Shiromani koji se sastoji iz 2 dela koja su se bavila sferama i matematikom planeta.

Kaže se i da je bio dobar astrolog i da j e za svoju ćerku (lilivati ) predvideo da će joj umreti muž ubrzo nakon venčanja ako se brak ne desi u određeno vreme što je probao da udesi , ali nije uspeo.

Najveće domete u matematici imao je u teoriji brojeva pa je saslužan je za čakravala metodu, zatim u trigonometriji gde je definisao sinus zbira i razlike (isto kao danas)

Takođe i za unapređenje diferencijalnog računa.Naime on je dao ranu formu današnje Rolove teoreme.

Takođe brzine koje je računao u astronomiji, računao je preko infinitizemalena pa je neverovatno tačno računao sukcesivne položaje planeta. Bio je svestan toga da kada promenljiva teži svom maksimumu njen diferencijal nestaje. Pokazao je i da je jednačina centra nestaj kada je planeta najbliža ili najdalja od Zemlje.

Kao inžinjer 1150 godine tvrdio je da je napravio perpetum mobile odnosno točak koji nikada ne prestaje da se kreće …..



svetnauke.org

Prvi u nizu velikih matematičara klasičnog perioda a možda i najveći je svakako Arijabata . Njegovo najpoznatije delo danas je svakako Arijabatija koje je napisao kada je imao 23 godine, što i sam navodi u tekstu pa se na osnovu toga predpostavlja da je rođen 476 jer se na osnovu drugih izvora zna da je umro 550 godine. O njegovom imenu i poreklu se i dalje vode polemike, ali se zna da je studirao u gradu Kusumaputra za koje istoričari tvrde da je današnji grad Patna i da je kasnije bio bio vođa opservatorijuma na univerzitetu Nalanda 25 km jugoistočno od Patne.

Postoje informacije da je napisao još dva rada Arija-sidanta, koji je izgubljen ali se o njemu saznaje na osnovu proznih komentara koje su napisali Bramagupta i Baskara I, a za drugi Al-nanf se pretpostavja da je arapski prevod dela koje je u originalu napisao Arijabata.

Ipak delo koje je najpouzdanije je svakako Arijabatija. Ono je napisano u 108 stihova plus 13 uvodnih podeljenih u 4 pade ( poglavlja ) pa je zato napisano dosta „tesno“ ali se naravno više saznaje od komentatora.Delo se bavi astronomijom i matematikom. U prvom delu Gitikapanda (13 stihova ) piše se o kosmologiji, data je tabela sinusa i data je revolucija planeta za vreme mahajunge i on iznosi 4.32 miliona godina.

Drugi deo Ganitapada (33 stihova) i i on pokriva aritmetičku i geometrijsku progresiju , proste kvadratne i simultane jednačine kao i indeterminantne jednačine .

Treći deo Kalakriapada (25 stihova) posvećen je astronomije i tu se nalaze različite jedinice za vreme kao i metode za utvrđivanje pozicija planeta za neki dan ,račun prestupnih meseci kao i nazivi za sedmodnevnu nedelju.

Četvrti deo Galopada ( 50 stihova) , zadnji deo gde su prikazani geometrijski i trigonometrijski aspekti nebeske sfere , kao i račun ekliptike , oblika zemlje uzrok smene dana i noći , buđenje zodijačkih znakova na horizontu .

Naravno, ni Arijabata dne bi bio veliki matematičar da ne daje svoj račun za broj π.

U drugom delu ( ganitapada) on piše :

Citat :

„Dodaj 4 broju 100, pomnoži sa 8 i onda dodaj to na 62000. Ovim pravilom može se računati obim za krug prečnika 20000“

U prevodu:




Arijabata je i sam tvrdio da je ovo aproksimacija odnosno da je taj broj (π) u stvari nemerljiv ( iracionalan) što je vro napredno je iracionalnost broja π u evropi dokazao Lambert tek 1716 godine.

Dalje, on daje i površinu trougla kao:

Citat :

„ .. za trougao površina se može računati kao normala pomnožena sa polovinom strane“

U jednom svom manjem radu pod nazivom ardya-jya Arijabata raspravlja o konceptu sinusa . Ardya-jza je u stvari i bio prvi naziv sa sinus i to znači „ pola- tetive“ , ali se vremenom naziv skratio samo na jya . Kasnije su ovo preveli arabljani , a na njihom jeziku se pisalo jiab ( jiab znači zaliv). Kasnije , u XII veku Gerado od Kremone je ovo preveo na latinski sinus što isto znači zaliv.

Jako zanimljiv problem za sve indijske matematičare , pa i za Arijabatu su bile i indeterminantne jednačine, ali o tome više kasnije….

Od algebre u Arijabatiji se daje jako „elegantno“ rešenje niza kvadrata :



kao i :




Ipak najveći doprinos Arijabata je svakako dao u astronomiji. On je verovao da se zemlja kreće oko svoje ose. Ovo tvrđenje objašnjava kretanje zvezda kao relativno kretanje koje je uzrokovano kretanjem zemlje oko svoje ose.

Citat :

„Kao čovek u čamcu koji se kreće napred i koji vidi nepomične predmente kako se kreću unazad , tako i nepomične zvezde ljudima iz Lanke ( današnja Šri Lanka) izgledaju da se kreću ka zapadu.“

Ovde se Šri Lanka koristi kao ekvator.

Arijabata je opisao i geocentrični sistem u kome se Mesec i Sunce okreću oko Zemlje po dva epiciklusa …. Takođe daje se i raspored planeta po udaljenosti od zemlje : Mesec, Merkur, Venera, Sunce, Jupiter, Saturn .

Zadivljujući su i njegovi računi o pomračenju Meseca koje se dešava kada mesec uđe u zemljinu senku a jedan francuski astronom je našao proračune o pomračenju 8. avgusta 1765 koja su bila za kraća za 41 sec, zemljine senke kao i zemljin obim 39,98.0582 što je za 0.2 % manje od današnje vrednosti od 40 075.0167. Period rotacije zemlje oko nepokretnih zvezda je 23:56:4.091 a dužina takve godine je 365 dana 6 sati 12 minuta i 30 sekundi .

Matematički ovo je bitno jer je u svom metodu računanja on došao do osnova integralnog i diferencijalnog računa. Naime , da bi razvijo bolji račun lunarne eklipse on uvodi pojam beskonačnosti (tatkalika gati) da bi utvrdio tačnije kretanje meseca.

A u samom utvrđivanju tog kretana on koristi osnovne diferencijalne jednačine kao i eksponencijalnu funkciju e (danačnji Ojlerov broj).


Dalje je njegov aparat u 10. veku razvio Mandžula koji je shvatio da izraz može da se napiše kao:
.

Trigonometrijski račun dalje je proširio Varahamira koji je dao neke osnovne trigonometrijske identitete npr:





.



svetnauke.org

Kerala je mesto u južnij indiji u kome je Madhava iz Sangamargrame oko 1300 godine osnovao školu astronimije. Škola je imala još 6 bitnih sledbenika koji iza sebe ostavili velika otkrića kako iz astronomije tako i iz matematike, jer su proučavajući astronimiju razvili zavidan matematički aparat.Najbitnija matematička dostignuća su u razvoju trigonometrijskih funkcija i matematičkoj analizi. Delo u kome su ova dostignuća prikazana čak i sa dokazima što je neobično za to vreme je delo indijskog astronoma Jestadeve koje se zove Juktibasa (racionalni jezik matematike).

U prvom delu se prikazuju matematička analiza (prvi rad ikada koji se time bavi), algebra, aritmetika, razlomci, logika a u drugom astronomija.

Na poćetku dela su dati dokazi pitagorine teoreme obima kruga kao i formule za arkus tanges ugla koja glasi :



odnosno:




Takođe daje se i beskonačni niz za vrednost π:



Kao i transformacija ovog niza:



A daju se i formule za same trigonometrijske funkcije:

.

U svim ovim formulama primenjivani su njihovi principi koji u stvari predstavljaju današnju osnovu analize, konkretnije osnovni oblik tajlerovog reda , limesa, izvoda funkcije kao i ideja da je površina ispod zakrivljene linije njen integral. Primeri njihove matematičke indukcije i znanja nizova su formule beskonačnih nizova:



.

Oni i razvijaju nasleđe svojih velikih predhodnika, pa na primer za interpolaciju polinoma beskonačne sume se dobija:



.


Mada oni nisu baš poznavali pojam limesa razumeli su da razlomak sa leve strane može da bude blizak onom sa desne onoliko koliko se želi ako teži 0. Jyesthadeva je oko 1500. godine ovo prvi dokazao koristeći izvod a zanimljivo je da se oni koriste i pre njega.



Na slici iznad PX je arc dužine x a PT je , veličina kojom se arc dužine povećava. Kvantitet je k veličina koju nača funkcija menjaoznačićemo je posebnom notacijom.



Problem je proceniti kao i . Ako sa Q označimosrednju tačku arc dužine PT, i primetimo da je OQ normala simetrale PT. Zatim treba da se objasni zašto je za i samim tim zašto je .

Za male promene luka PT je α=PT, pa se daljim aproksimacjaama dobija:

.

Iz sličnosti trouglova TSB i OBQ je:

.

Nakon ovoga se primenjuje Brahmina formula interpolacije pa je dalje za :

.



svetnauke.org

Matematička aktivnost počela je da se razvija kao odraz veda , kroz dve discipline (od šest) koje su služile za očuvanje tradicije veda (Vedāṇgas). Ovi radovi su po formi dosta ličili na vede pa su imali istu fonetiku metriku gramatiku i etimologiju .Oni su imale za cilj pamćenje pravog načina i vremena izvođenja rituala kao i istraživanje astronomije i astrologije. U njima je postignuta izuzetna kratkoća stiha , jer su oni u prvi plan stavljali recitacije i morali su da veliki obim znanja stave u kratku formu. To su postizali korišćenjem reči sa više značenja , tehničkih izraza umesto dugačkih opisnih, ili iznošenjem samo prvog izraza i krajnjeg rezultata.. Međutim za njih su tekstovi bili samo manje bitni delovi znanja a najbitniji su bili oni koje učitelj (guru) daje učeniku..

Za svaku matematičku temu u drevnoj indiji je učenik morao najpre da zapamti sutre napamet , a onda da napiše prozni komentar ili crta diagrame na tablama od krede ili prašine . Najstariji poznati prozni komentar je komentar dela Āryabhaṭīya (499 godina p.n.e) , dela o astronomiji i matematici. Komentar se sastoji iz 33 sutra u kojima se nalaze matematička tvrđenja i pravila ali bez dokaza . Naravno to ne znači da ih nisu imali ali u to vreme se nisu koristili u obrazlaganjima. U vreme baskare (600 godina p.n.e) su komentari počeli da sadrže i dokaze , a on je i dao strukturu komentara:

Citat :

Objašnjenje pravila, primer (u stihu), postavka, rad ka rešenju i provera rešenja.

Period Veda

Još u praistoriji postojala je matematička svest na indijskom potkontinentu , koja je više bila praktična nego teorijska. To se vidi na primeru ivica cigli koje su koristili, čije se ivice odnose u razmeri 4:2:1 . Jedinice težine su bile izražene u razlomcima 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, i 500 a osnovna jedinica je današnjih 28 grama . Takođe znali su i osnovne geometrijske oblike kao što su heksaedri , cilindri, korneti…

Zatim je došao period Veda . U tom periodu je matematika kao i sve ostalo bilo pod uticajem religije pa se brojevi uglavnom javljaju u religioznim tekstovima. Kada se oni čitaju prmećuje se da su brojevi u njima prilično veliki, reda veličine do 1012. U tim tekstovima uglavnom su opisivani religijski rituali koji su u to vreme bili puni žrtvovanja. Na primer mantra ( obredni govor) koji se izgovarao na kraju rituala prinosa hrane (annahoma) za vreme žrtvovanja konja (asvamedha) oslobadjao je od 10 do 100 triliona moći.

Najznačajniji matematički tekst toga vremena je Śulba Sūtras (sulba na sanskritu znači konopac, uže). Ovo je deo većeg rukopisa Shrauta Sutra , takoće religioznog teksta u kome se geometrijski oblici vatrenih oltara dovode u vezu sa darovima bogova.

Tu se na primer navodi „onaj ko želi raj napraviće vatreni oltar u obliku sokola“ ili „vatreni oltar oblika kornjače napraviće onaj ko želi dsvet Brahmin “ i „ onaj koji želi da uništi svoje sadašnje i buduće neprijatelje treba da napravi vatreni oltar u obliku romba“.

Najstarije i najbitnije delove ovog teksta napisao je indijski matematičar Baudajana , i oni datiraju iz perioda oko 600. godine p.n.e.

Bitan deo ovog teksta predstavljaju i opisi konstruisanja oltara. Ovi oltari imaju različite oblike ali zauzimaju isti prostor. Oni se sastoje od 5 slojeva cigli , gde svaki sloj ima 21 ciglu a nijedna dva susedna sloja nemaju podudarni raspored cigli.

Takođe ovde se nalazi najstarija definicija pitagorine teoreme, mada je ona i pre bila poznata vaviloncima.

Citat :

“Diagonalni kanap pravougaonika zauzima isto što i krilo i horizontalni kanap zajedno“

Daju se i brojevi pitagorinih trojki koji pretstavljaju rešenja posebnih slučajeva deofantskih jednačina:

(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), i (12,35,37).

Ova definicija jeste nejasna jer se nigde ne pominju kvadrati. Ali da su oni znali šta pišu pokazuju drugi Baudajanini tekstovi u kojim se navode preciznije definicije pitagorine teoreme za pravougaonik:

Citat :

“Kanap koji je rastegnut po dijagonali pravougaonika zauzima istu površinu kao i horizontalni i vertikalni zajedno”

i kvadrat :

Citat :

“Kanap koji je rastegnut po dijagonali kvadrata zauzima površinu koja je duplo veči od površine originalnog kvadrata”.

Baudajana čak i daje formulu za koren iz 2 :



i ona je slična formuli koja je nastala u Mesoptamiji ( oko 100 godina pre Baudajane):

.



svetnauke.org

Drugi u hronološkom nizu velikih astronoma i matematičara drevne indije je Bramagupta . On je rođen 598 godine u severozapadnoj Indiji, a većinu života proveo je gradu Bilamal (danačnji Binmal) gde je bio vođa opservatorijuma. Za vreme provedeno tamo napisao je četiri teksta vezana za matematiku i astronomiju od kojih je najbitniji Bramasputasidanta (pravilno utvrđene doktrine Brahme) koje se sastoje iz 25 poglavlja, a odatle se i najviše zna o njegovom životu i mestu boravka. Umro je 668 godine.

Glavni doprinos dao je u algebri, aritmetici , gometriji, trigonometriji i astronomiji.

Bramagupta daje rešenje opšte linearne jednačine kao:

.

Dao je i dve definicije rešenja opšte kvadratne jednačine :

Citat :

„Kada se srednji broj oduzme od kvadratnog korena konstanti (rupas) i kvadrati pomnože sa 4 a od njih se oduzme kvadrat srednjeg broja i kada se podeli sa dva puta kvadrat“

Ovo je ekvivalentno jednačini:



Takođe, pojavlje se i formula:

.


U aritmetici, on daje 5 osnovnih operacija sa razlomcima:

; ; ; ; .


Bitna odlika njegove aritmetike je i to što je on prvi počeo da tretira nulu kao broj. Pa je i opisao operacije sa nulom gde navodi da je :

Citat :

„Zbir dva pozitvna broja je pozitina, dva negativna je negativna , negativnog i pozitinog je njihova razlika . Zbir pozitivnog i nule je pozitivna , a negativnog i nule je negativna „

a za deljenje:

Citat :

„Pozitivan podeljen pozitivnim i negativan podeljen negativnim je pozitivan , nula podeljena nulom je nula , pozitivan podeljen negativnim je negativan a pozitivan ili negativan podeljen nulom je nula“

Ovo je jako zanimljivo jer kod njega , sa čim se ni neki drugi indijski matematičari nisu slagali a ovaj problem je i danas nedefinisan u matematici.

U geometriji je danas poznata bramaguptina forula slična heronovom obrascu koja se koristi za površinu četvorougla i koja kaže :

;

Bramaguptina teorema kaže da je AF = FD. Ova teorema se koristi za tetivni četvorougao i kaže da su njegove dijagonale međusobno normalne, kao i da normala na stranu od tačke preseka dijagonale uvek polovi suprotnu stranu.

Naravno i on daje formulu za π koja je vrlo „praktična“ i iznosi: .

Nakon ovoga mogu se naći delovi posvećeni geometriji i računanju površine i zapremine ravnih zarubljenih i pravougaonih figura, kao što su prizme i piramide.

Jedno zaista neverovatno dostignuće je interpolaciona formula. Odnosno formula za računanje vrednosti funkcije dve veličine kada se između njih umetne treća. Ova formula je za poseban slučaji daje približnu vrednost funkcije f vrednosti:

, i kao:

.

Najveći trag ipak ostavio je u astronomiji , pa se kaže da su arabljani svoja bva saznanja o astronomiji stekli upravo iz prevoda bramaguptine brahmaspudasidante. On tu između ostalog objašnjava da je mesec bliži zemlji od sunca i da osvetljenost meseca zavisi od relativne pozicije sunca i meseca.

Još bitniji je njegov odgovor na jednu kritiku zbog navoda da je zemlja sfera a ne ploča , jer da je tako „kamenje i ploče bi padale sa zemlje“… na šta je odgovorio:

Citat :

„Sve teške stvari su privučene ka centru zemlje , zemlja je sa svih svojih strana ista , svi ljudi na zemlji stoje uspravno , i sve teške stvari padaju ka zemlji po zakonima priride , jer je priroda zemlje da privlači i zadržava ove stvari kao što je priroda vode da teče , vatre da gori a vetra da se kreće. … Zemlja je jedina niska stvar , i seme se uvek vraća zemlji bez obzira u kom se pravcu baci i nikad ne napušta zemlju“

svetnauke.org

Gledano kroz istoriju matematike Đainizam predstavlja prelazno doba između Veda i Klasičnog perioda i traje približno od 400. godine p.n.e do 200. godine n.e. Najznačajnija obeležija ovog vremena su oslobađanje od religijskih uticaja, fascinacije ogromnim brojevima i beskonačnošću. Đainisti veruju da svet nikad nije počeo i nikad neće da se završi , a duše na kraju postaju prosvetljene i napuštaju centar zemlje ove karmičke iluzije mora da postoji beskonačnost duša. Takođe u njihovoj kosmologiji se dolazi do broja 2588 koji predstavlja ukupni period vremena , koji se sreće samo u njohovoj kulturi.

Ovo je dovelo i do klasifikacije svih brojeva na prebrojive , neprebrojive i beskonačne. Zatim odredili su pet tipova beskonačnosti: beskonačnost u jednom pravcu, beskonačnost u dva pravca, beskonačnost u oblasti, beskonačnost svuda i stalna (perpetualna) beskonačnost.

Matematičari ovoga doba otkrili su i notaciju prostih stepena brojeva kao što su kvadrati i kubovi koja im je omogućili ddefinišu jednostavne algebarske jednačine. Oni su bili i prvi koji su koristili termin za nulu (shunya – na sanskritu poništi).

Doprinosi matematici u ovo vreme su bili : aritmetičke operacije, geometrija , operacije sa razlomcima , proste jednačine , jednačine trećeg i četvrtog stepena , formula za π i operacije sa logaritmima.

Najznačajniji matematičar ovog vremena bio je Pingala.


Pingala je čuveni indijski matematičar i pesnik, a najpoznatije delo mu je Chandas Sutra. Ovo delo ima osam glava i predstavlja sanskritsku raspravu o prozodiji. Napisano je između 2 i 5 veka p.n.e , danas je poznato samo u fragmentima a o njemu se još saznaje i od indijskog matematičara 10. veka Halajude koji je dao prozni komentar dela.

Kao matematičar Pingala je naišao na paskalov trougao i binomne koeficijente kao probleme koje je definisao ali o kojima nije imao predznanje kao i na fibonačijeve brojeve.Paskalov trougao je došao kao posledica interesovanja za kominacije i permutacije za koje daju i vrlo tačne formule :



.

Kao i za sam paskalov trougao(inače ova formula je jedostavnija od one koju je dao Paskal):

.

U komemtaru koji je dao Halajuda koji ovo zove i Meru-prastāra ( na sanskritu put do planine Meru ) kaže se :

Citat :

„Nacrtajte kvadrat. Počevši od sredine s donje ivice kvadrata nacrtajte dva slična kvadrata ispod njega, i još tri kvadrata ispod njih. Pri obeležavanju stavite 1 u gornji kvadrat i dva ispod njega. U treću liniju (red) stavite 1 u kvadrate na kraju a u onaj srednji sumu brojeva kvadrata iznad njega . U četvrti red stavite 1 u krajnje kvadrate, a u one srednje sumu brojeva kvadrata iznad njih. Nastavite ovako. Od ovih linija druga daje kombinaciju sa jednim slogom , a treća kombinaciju sa dva sloga….“

U tekstu se pokazuje i svest o kombinatornom identitetu :

.


Do fibonačijevih brojeva (ili niza) se došlo zahvaljujući njihovoj prozodiji , odnoso oni indijci su imali dugačke i kratke slogove. Dugački su imali dužinu dva, a kratki jedan. To znači da se svaki obrazac dužine n može predstaviti dodavanjem kratkog sloga obrascu dužine n-1 ili dodavanjem dugačkog sloga obrascu dužine n-2.


Popločavanje kvadratima čije su dužine
fibonačijevi brojevi (0 ,1,1,2,3,5,8,13...)


Zlatna spirala



svetnauke.org

Ovaj period je poznat kao zlatni period indijske matematike i traje od 400-1200 godine n.e. U ovom periodu (do 720 godine ) postojalo je najače carstvo na indijskom podkontinentu , kojim je vladala dinastija Gupta , za čije vreme su završene Ramajana i Mahabharata i koje je donekle pretstavljalo vreme političkog mira i stabilnosti.

Postojalo je tada dosta naučnika koji su uglavnom bili astronomi ali i matematičari koje je predvodio Arijabata za kojim su išli Varahamira, Bramagupta, Baskara I , Mahavira , Baskar II… Njihov uticaj se vremeno širio Azijom i na kraju došao i do Evrope. Matematika ovog doba pretstavlja astralnu nauku koja ima 3 discipline : matematičku nauku , horaskop (astrologija) i proricanje. S obzirom da u ovom perodu ima više matematičara i više se piše (a ne samo pamti) ima i više dokaza o njihovom radu je napredak ovog perioda najbolje prikazati kroz radove konkretnih matematičara.

Prvi značajniji rad klasičnog perioda je Surja Sudanta (oko 400 godine) u kome su date osnove moderne trigonometrije, mada neki autori danas smatraju da je on bio pod uticajem Grčke i Mesopotamije odnosno da je autor dela (danas nepoznat) prepisivao…

U svakom slučaju u drevnom rukopisu se pominju trigonometrijske funkcije:

Sine (Jya). Cosine (Kojya). inv sine (Otkram jya). Tangent. .Secant


U rukopisu se piše i o kosmologiji i daje se dužina godine koja iznsi 365.2563795 dan što je za čitavih 1.4 sekundi duže od današnjeg najmodernijeg računanja.



svetnauke.org

Nakon doba Kerale koje je trajalo do otprilike 1600. godine , nastaje zastoj jer tada počinje doba kolonijalizma koje će u Indiji u narednim vekovima izazvati mnogo veću borbu za slobodu i nezavisnost nego za nauku…..

Ipak i ono što su otkrili u nauci milenijumima pre toga je zadivljujuće, i stavlja ih u red najnaprednijih civilizacija , i u toj oblasti. Glavna obeležija svakog perioda u njihovoj opštoj ( a i naučnoj) , istoriji je religija toga doba. U početku su to bile Vede čija su učenja obeležena prinšenjem žrtava i obavljanjem rituala , kako dnevnih tako i godišnjih. Oni su imali za cilj uspostavljanje veze izmeđe čoveka i kosmičkog reda , jer je jedna od glavnih ideja i verovanja podređivanje kosmosa ljudskoj manipulaciji kroz ove rituale ali i moralne vrline odnosno ponašanje prema kosmičkm zakonima. Od 800-200 g.p.n.e nastaje doba velikih socijalnih i ekonomskih reformi , u kojima gradovi postaju kraljevstva , padolazi do razmene materijalnih i intelektualnih dobara.

Relgiija ovog novog vremena sadržana je u poslednjem delu Veda koje se naziva Upanišada čiji pogledi na svet oblikuju sve naredne religijske i filozovske misli. Tri osnovne ideje ovog teksta su da čovek nema jedan već više života , odnosno da nakon svake smrti sledi ponovno rođenje (reinkarnacija) na ovom ili bilo kom drugom svetu (samsara). Dalje postoji Karma koja se odnosi na to da svaki naš postupak dobar ili loš proizvodi neku energiju koja utiše na to kakav će biti naš sledeći život.

Treća ideja ili centralni problem je oslobađanje od života koji je uzrokovan radom karme… (maksa) . U ovom periodu se takođe i „smanjuje“ , broj bogova , odnosno umesto dotadačnjih 3 306 , postavlja se jedan (ili jedan i po bog Brahma, koji postoji u svakom čoveku (atman). Spoznavanje brahme u sebi predstavlja u stvari krajnje oslobađanje iz sveta iseljavanja. Vremenom su sveštenci ove religije došli do stanja svesti za koje su tvrdili da je jednako Brami. To je nazvano i četvrto stanje svesti za koje su pričali da je van bilo kog ljudskog iskustva i zamisli.Nakon doba Upanišada došlo je propovedanje Bude , mladog plemića koji se odrekao bogatstva u potrazi za sopstvenim oslobađanjem. On ne priznaje atman , već tvdi da se sve svodi na oslobađanje od želja i stanje najvišeg pročišćenja nirvana.

Nakon postanja budizma , pa čak i za vreme Budinog života počinje da se razvija logika odnosno kritičko mišljenje. Iako i dalje opterećeni oslobadjanjem (maksa) od patnje na svetu oni smatraju da je pravilni pogled na svet neophodna komonenta postizanja maksa što je zahtevalo kritiku i analitičku filozofiju. Još se u Upanišadama koje nemaju mnogo mnogo argumenata podržava razvijanje filozofskih ideja, pa se otad razvijaju debate koje su bile vrlo popularne i nekad se odvijale i pred puno publike i nudile velike nagrade Za vreme budizma se ovo nastavlja pa se primećuje da je Buda svoje propovedi vršio u formi dijaloga koji se kasnije prepričavao i prenosio dalje. Za Budu znanje je veza između subjekta i objekta, što je imalo uticaja na kasnije filozofe koji u svojim radovima prvo pišu svrhu (prayojana), i u tim radovima se vidi da postoji prava sumnja o temi koja se razmatra. Nakon Budine smrti do I i II veka debate se toliko razvijaju da sveštenici razvijaju i uče tehnike za pobeđivanje u debatama, jer pobednici debata dobijaju moć i poštovanje.Osim debata u kojima je svrha samo pobediti protivnika postoje i one u kojima diskutuju dva prijatelja koje imaju za cilj uspostavljanje pravilnog pogleda na svet. Razvijaju se i „formule“ za pobeđivanje protivnika a samim tim i logika koja je jako slična sa onom Aristotelovom što kod nekih analitičara dodatno potkrepljuje napade o eurocentrizmu u Indjskoj kulturi ali za to bar u ovom slučaju nema nikakvih dokaza. Matematika i logika su praktične nauke i uvek je:

Citat :

„istina je istina, a glupost je glupost, bez obzira gde i kada je ko nešto rekao“

.



svetnauke.org