Pi ili π je matematička konstanta, danas široko primenjivana u matematici i fizici. Njena približna vrednost je 3,14159, a definiše se kao odnos obima i prečnika kruga ili kao odnos površina kruga i kvadrata nad njegovim poluprečnikom. Pi je takođe poznato i kao Arhimedova konstanta[1] (ne treba ga mešati sa Arhimedovim brojem) ili Ludolfov broj[2]. U praksi se beleži malim grčkim slovom π a u srpskom jeziku je pravilno pisati i pi. Oznaka za broj pi potiče od grčke reči perimetar (περίμετρος). U matematiku ju je uveo Vilijam Džouns 1707. godine, a popularizovao ju je Leonard Ojler 1737.
Numerička vrednost pi zaokružena na 64 decimalna mesta je:
Pi je iracionalan broj, što znači da se njegova vrednost ne može izraziti preko razlomaka. Zbog toga njegov decimalni zapis nema kraja i nije periodičan. Pi je takođe transcendentan broj, što znači da ga nije moguće izraziti korišćenjem konačnog broja celih brojeva uz četiri osnovne računske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) i korenovanja. Tokom istorije matematike vršeno je mnogo pokušaja da se što preciznije izračuna vrednost broja pi i razume njegova priroda.
Srećan vam Pi dan!
Pi ima svoj zimski i letnji praznik. Zimski se slavi 14. marta (npr. 2009.3.14.) i predstavlja zaokruživanje broja Pi na dve decimale, koji je po prvi put obeležen 1988. godine u San Francisku, dok letnja proslava ustvari predstavlja aproksimaciju ove konstante u vidu razlomka 22/7 i slavi se 22. jula (npr. 22/7/2009).
Kako se u kalkulaciju ovog praznika ne uzima u obzir godina, praznikuje se svake godine. Neki idu toliko daleko da izdvajaju i Pi minut (03.14. u 1:59) kao i Pi sekundu (03.14. u 1:59:26) što predstavlja broj Pi zaokružen na određeni broj decimala. Na ovaj dan se jedu okrugli kolači, voćne pite, torte i sve ostalo što vam padne na pamet a ima veze sa krugom.
Zanimljivo je da je Albert Ajnštajn rođen 1879. godine na Dan broja Pi..
Predlog proslave dana posvećenog broju Pi dao je fizičar Lari Šo, a ukoliko se pitate zbog čega baš ovaj datum, ukoliko ga zapišete u formatu mesec/dan, to će biti 3/14 (3,14 je vrednost broja Pi).
Datum za proslavu aproksimacije broja Pi je 22. jul, zbog toga što se broj Pi približno predstavlja i razlomkom 22/7.
Black Wizard
Master
Poruka : 34967
Godina : 49
Lokacija : UK, London
Učlanjen : 30.03.2011
Naslov: Računanje broja Pi Monte Karlovom metodom Čet 17 Maj - 14:17
Računanje broja Pi Monte Karlovom metodom
U pitanju je običan zadatak iz verovatnoće, ali ono što ga čini posebno zanimljivim jeste činjenica da se na osnovu baš ovakvog bacanja igle može odrediti broj π. Naime, zbog različitih uglova pod kojima igla može da se nađe u odnosu na pravu (kao na slici), u formuli za verovatnoću figuriše broj π. Ako znamo njegovu vrednost, možemo odrediti verovatnoću — ali ako je ne znamo, možemo baciti iglu veliki broj puta da bismo dobili verovatnoću, a onda preko nje izračunati π.
Naravno, jasno je da “veliki broj bacanja” uopšte nije lako izvesti. Ako želimo iole preciznije rezultate, nekoliko hiljada teško da će biti dovoljno, pa se mora stremiti ka daleko većim brojevima. Italijanski matematičar Mario Lazzarini je početkom 20. veka izveo ovaj eksperiment sa 3408 bacanja i dobio vrednost 355/113, što je 3.14159292. Za poređenje, vrednost broja π je 3.14159265, odnosno razlikuju se tek na sedmoj decimali. Zanemarićemo njegove rezultate, i pokušati lično da izračunamo π uz pomoć kompjuterske simulacije koja nam omogućava da izvršimo milione “bacanja” u samo jednoj sekundi.
Pre nego što krenemo sa programiranjem, malo ćemo izmeniti problem da bismo olakšali njegovu implementaciju, ne umanjujući preciznost. Umesto beskonačne ravni i Bifonove igle, koristićemo kvadrat određenih dimenzija i krug upisan u njega.
Kao što nam je poznato, površina kvadrata stranice 2r je 4r(na)2, dok je površina kruga upisanog u isti r(na)2π. Ukoliko znamo obe površine, jednostavnom matematikom možemo izračunati π. Međutim, mi ih ne znamo, pa ćemo morati da ih aproksimiramo. Kao kod Bifonove igle, to ćemo učiniti nasumičnim biranjem tačaka koje pripadaju kvadratu, s tim što ćemo pamtiti koliko je tačaka pripadalo i krugu. Posle dovoljno iteracija, odnosi ukupnog broja tačaka i tačaka u krugu će biti približno jednaki odnosu površina, što ćemo onda upotrebiti da bismo izračunali π.
Kako je ovde u pitanju aproksimacija, logično je da će više bacanja davati bolje rezultate, i poništiti negativan efekat kompjuterski generisanih random brojeva koji nisu zaista nasumični, već pseudo-nasumični. Računanje broja π na ovaj način se zasniva na tome da je podjednaka verovatnoća izbora bilo koje tačke u okviru kvadrata, pa ćemo mi pretpostaviti da nam naš program daje tačke sa uniformnom raspodelom. Iako radimo samo sa celobrojnim koordinatama, pa zapravo ne analiziramo kompletnu površinu kvadrata, zbog velikih vrednost brojeva rezultati bi trebalo da budu dovoljno precizni.
Realizacija algoritma, sa druge strane, je veoma jednostavna. U svakoj iteraciji generišemo dve nasumične vrednosti koje nam predstavljaju X i Y koordinatu tačke, i njih koristimo da bismo izračunali da li ona pripada krugu ili ne. U svom kôdu sam radio sa velikim nenegativnim brojevima da bih izbegao korišćenje manje preciznih realnih brojeva, odnosno ostavio ga za sam kraj. Kvadrat je postavljen u donji levi ćošak prvog kvadranta koordinatnog sistema, odnosno obuhvata tačke od (0,0) do (a,a). Formula na kraju algoritma je dobijena preko odnosa površina kruga i kvadrata.
Pošto koristimo random generator, a želimo što veću preciznost, ograničio sam stranicu kvadrata na najveći broj koji možemo dobiti od random generatora, što je u mom slučaju bilo 2(na)31-1, odnosno nešto preko dve milijarde. Takođe, da bi se centar kruga nalazio na celobrojnim koordinatama, stranicu kvadrata sam smanjivao na paran broj ukoliko je konstanta RAND_MAX neparna, što bi uglavnom i trebalo da bude slučaj.
Duzina stranice kvadrata a = RAND_MAX
Ukoliko je A neparno (RAND_MAX & 1)
Poluprecnik kruga r = a/2
Brojac tacaka u krugu pogodaka = 0
Broj iteracija algoritma, tj. ukupan broj tacaka n
Ucitavamo broj iteracija ("Uneti broj iteracija: "); ("%lld", &n)
Izvrsavamo algoritam rr = r*r; i za (i = 1; i <= n; i++) x = rand() y = rand()
ako (x > a || y > a)
Ponavljamo iteraciju ako ((x-r)*(x-r) + (y-r)*(y-r) <= rr) onda pogodaka++
Ispisujemo dobijenu vrednost pi = 4 *pogodaka / n ("Aproksimacija broja Pi: %lf\n", pi)
Kao što možete videti, što je više iteracija to je precizniji, s tim što broj potrebnih iteracija za povećanje preciznosti stalno raste. Naravno, ponovno pokretanje programa ne bi dalo iste vrednosti, a postoji mogućnost i da se vrednost u nekom trenutku udalji od broja π umesto da mu se približi, ali takva je verovatnoća: ništa nije sigurno, samo verovatno.
Piše: Nenad Božidarević Za Sajt: bozidarevic.com
Shadow
ADMIN
Poruka : 97443
Lokacija : U svom svetu..
Učlanjen : 28.03.2011
Raspoloženje : Samo
Naslov: Kako zvuči Pi broj Pet 13 Jul - 1:54
Matematika i muzika
Ako do sada niste verovali u to da matematika i muzika imaju puno toga zajedničkog, evo pravog videa za vas
Američki muzičar Majkl Džon Blejk (Michael John Blake) dosetio se kako da matematičku konstantu Pi pretvori u muziku. Počeo je od toga da brojevima dodeli tonove C-dur lestvice, pa je tako broju 1 dodelio notu C, broju 2 notu D i tako sve do broja 7, koji predstavlja notu H.
Broj 8 je takođe C, ali za oktavu više (u intervalima – oktava od osnovnog tona, tj. broja 1), broj 9 je nota D (za nonu udaljena od osnovnog tona), a nulu predstavlja broj 10, pa je dobila ton E, koji je za decimu udaljen od osnovnog (početnog) tona.
Kada je svaki broj dobio svoju notu, onda je Majkl svakoj noti dodelio i trozvuk (kvintakord) čiji je osnovni ton upravo ta nota: za broj 1 – C-dur kvintakord (C-E-G); za broj 2 – d-moll kvintakord (D-F-A); broj 3 – e-moll kvintakord (E-G-H); broj 4 – F-dur kvintakord (F-A-C); …
Evo kako to zvuči u praksi – jedna lepa fuga
kanaparker
Član
Poruka : 55
Učlanjen : 25.07.2012
Naslov: O broju pi Uto 31 Jul - 21:15
Прочитајте и ово о броју ПИ:
Експерти за теорију бројева недавно су открили “бројеве Универзума”. То су ирационални бесконачни бројеви који садрже све могуће и замисливе распореде цифара: међу њима ћете наћи свој датум рођења, регистарски број свог аутомобила или број мобилног телефона. Ти стручњаци су готово сигурни да је број “пи” број Универзума. У том случају потпуно је сигурно да било који след цифара на компакт диску (низ који одговара дигиталном запису Моцартовог “Реквијема”, на пример) постоји у строго идентичном реду, негде дубоко у броју пи. У ово фасцинантно искуство свако се може уверити: свако ће моћи да нађе датум свог рођења скривен у децималама броја пи. Датум победе над фашизмом, 8. мај 1945. године (08051945) налази се тачно на 25.462.402 месту после запете: ово можете да проверите ( невероватне особине броја “пи” можете да погледате на адреси: [link] (ako link ne radi to je angio.net/pi/piquery).
А ово нас води ка вртоглавом питању: да ли то значи да је читав Универзум mистериозно кодиран у једном трансцедентном броју, једном броју Универзума? Као што постоји “генетски код” за постанак људских бића, зашто не би могли да замислимо “математички код” на почетку читавог Универзума?
Датум рођења аутора овог прилога (28021950) налази се почев од 128.157.327 - ме децимале броја пи.
Програм испитује 200.000.000 (двеста милиона!) децималних места.
Датум Косовске битке 28061389 године налази се почев од 62.744.385 места, а датум по старом календару (15061389) налази се на 88.496208. месту!
Канапаркер
"Сад к мени с чашом притрчите да ликера свима дам, после квантних постулата, ужасног предавања!"
katarina
MODERATOR
Poruka : 74915
Učlanjen : 06.06.2011
Naslov: Re: Pi broj Pet 12 Apr - 23:56
Ирационални господин Пи
Зашто однос пречника и обима круга дајe број који се не може написати као разломак два природна броjа? Ова древна мистерија заправо је много већа од геометријских кругова
Господин Пи има дуг реп. Господин Пи има бесконачно дуг реп. Кад су га питагорејци први пут упознали, још у Старој Грчкој, схватили су да имају посла са бројем који је изван сваког дотадашњег поимања.
Наиме, Пи је један од најпознатијих ирационалних бројева. Такви бројеви се не могу представити као разломак, а иза децималне запете садрже бесконачно много цифара. Број Пи није само ирационалан, мистериозан је на још један начин – он је трансцедентан. То значи да не постоји алгебарска једначина за коју би Пи био решење.
Међутим, овај број може да представља и нешто сасвим опипљиво. Стари Грци су помоћу канапа мерили обиме разних кругова – на пример бачви како би израчунали колико вина у њих стаје – и кад год би их поделили дужином пречника, увек су добијали вредност броја Пи.
Зашто однос пречника и обима круга дајe број који се не може написати као разломак два природна броjа? Ова древна мистерија заправо је много већа од геометријских кругова.
Познат и под називима Архимедова константа и Лудолфов броj, најчешће записан грчким словом π, он се јавља као пресудан фактор у огромном броју једначина које описују природне појаве. Тако Пи одређује брзину којом падају кишне капи, начин на који се шири и скупља свемир и прелама светлост или вероватноћу нестајања живих врста. Број Пи можда и најбоље повезује све области математике.
Најчешће се заокружује на 3,14, а може се користити и у било којој апроксимацији као што је 3,1415926535897932384626433832795… Понекад се у рачуну заокружује као количник 22/7.
Међу цифрама броја Пи, редом почевши од неког места, може се наћи било који коначни низ: ваш датум рођења, матични број, број телефона, све се то налази негде у броју Пи. Ако бисмо Мај месец математике кодирали са 052012 приметили бисмо да се овај код такође налази у броју Пи – на 1362638. децималном месту.
Čet 15 Mar - 8:14
