Beskonačnost

Beskonačnost (od lat: infinitas - neograničeno; simbol: ) je bitan pojam u matematici, filozofiji i teologiji. Ovaj pojam nije iskustven, jer ga nije moguće videti, opipati ili na bilo koji čulni način spoznati; on se obrađuje isključivo misaonim metodama.
U filozofiji, beskonačno je ono što je bez početka i svršetka, čemu se ne mogu odrediti granice, niti se može umski do kraja shvatiti. U teologiji, beskonačnost je temeljna oznaka vrhovnog bića (Boga), za razliku od stvorenih bića koja su nužno konačna i ograničena. U matematici je to količina koja nije konačna.


U filozofiji, beskonačno je ono što je neoganičeno, što ide izvan bilo koje utvrđene granice. Istraživanje ovog pojma ide unazad barem do Zenona iz Eleje, a matematički pristup počinje sa Eudoksom iz Knida (4. vek p. n. e.).

U filozofiji prostora i vremena problemi se pojavljuju sa beskrajno malom i sa beskrajno velikom ili neograničenom prirodom. Kant je u antinomijama tvrdio da je nemoguće konzistentno posmatranje prostora ili vremena kao konačnog ili beskonačnog, a to je ključni element u njegovoj idealističkoj teoriji vremena i prostora kao nametnutih nepoznatoj prirodi od strane naših formi čulnosti.

Beskonačnost u matematici

Matematika se bavi veličinama i koristi se simbolima. Stoga je u matematici beskonačnost povezana sa veličinama (i ima svoj simbol). U matematici postoji beskonačno velika veličina, ali takođe i beskonačno mala veličina (što je skoro isto što i nula). U prirodi beskonačnost nije realna pretpostavka. Čak i kada se govori o vasioni, govori se o dimenzijama odnosno o nekakvim granicama. Kada se govori o superprovodnosti, nije u pitanju beskonačno mala otpornost već toliko mala da nije merljiva (ali ipak postoji i može se ispisati brojkama). Kada se govori o beskonačnosti vremena, upotrebljava se izraz večnost.

Beskonačnost je jedan od „težih“ pojmova filosofije, ali u matematici isti pojam i nije tako spekulativan. Nešto što je beskonačno u matematici bi trebalo biti u relaciji poretka, ne sme biti konačno i ne sme biti kontradiktorno. I to je sve. Konačni su prirodni, celi, racionalni i iracionalni broj, dakle svaki realan broj je konačan, a za kompleksne ne važi relacija poretka i tu negde završava spekulacija.

Postoje dve vrste beskonačnosti u matematici danas: potencijalna i aktualna. Potencijalnu beskonačnost su uveli u matematiku Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic kada su otkrili infinitezimalni račun, a aktualnu beskonačnost su otkrili Georg Kantor i Julijus Vilhelm Ričard Dedekind sa otkrićem teorije skupova.

wikkipedija

Infinitezimalni račun

Infinitezimalni račun je grana matematike koja se bavi funkcijama, izvodima, integralima, limesima i beskonačnim nizovima. Proučava razumevanje i opisivanje promena merljivih varijabli. Središnji koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Dve glavne grane su diferencijalni račun i integralni račun. Infinitezimalni račun je osnova matematičke analize.

Koristi se u nauci, ekonomiji, inženjerstvu itd. Služi za rešavanje mnogih matematičkih problema, koji se ne mogu rešiti algebrom ili geometrijom.

Infinitezimalni račun se na latinskom jeziku kaže „calculus infinitesimalis" i iz toga je proizašao naziv „kalkulus", koji se koristi u jednom delu sveta. Reč „infinitesimalis" znači "beskrajno mala veličina".

Istorija

U antičkom razdoblju bilo je ideja sličnih infinitezimalnom računu. Egipćani su računali zapreminu zarubljene piramide. Grci Eudoks i Arhimed koristili su metodu iscrpljivanja kojom se površina nekog oblika izračunava tako što se u njega ubacuje niz mnogouglova čije površine konvergiraju prema površini celog oblika. Tu metodu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. veku, da bi izračunao površinu kruga. U 5. veku Ču Čungdži koristio je metodu koja će kasnije biti nazvana Kavalijerijev princip za zapreminu lopte.

Godine 499. indijski matematičar Ariabhata I. je računao infinitezimalanim računom i zapisao astronomski problem u obliku diferencijalne jednačine. Na osnovu te jednačine je u 12. veku Bhaskara razvio neku vrstu izvoda. Oko 1000. godine Ibn al-Haitam je osmislio formulu za sve vrste četvrtih stepena i time pripremio put za integralni račun. U 12. veku persijski matematičar Šaraf al-Din al-Tusi otkrio je pravilo za odvajanje kubnog polinoma. U 17. veku japanski matematičar Šinsuke Seki Kova došao je do osnovnih spoznaja infinitezimalnog računa.

Infinitezimalni račun otkrili su nezavisno jedan od drugog u otprilike isto vreme Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic. Oni su otkrili zakone diferencijalnog i integralnog računa, izvoda (derivacije) i aproksimacija polinomnih nizova. Njihov rad nastavili su matematičari Ogisten Luj Koši, Bernhard Riman, Karl Vajerštras, Henri Lion Lebesk i dr.


wikipedija

Potencijalna beskonačnost

Isak Njutn je u XVII veku otkrio da možemo računati na niz veličina koje postaju veće od svakog unapred datog broja, i da pri tome ne upadnemo u kontradikcije; svoje otkriće je nazvao račun fluksija. Negde u isto vreme, slično otkriće imao je i Gotfrid Lajbnic. Obojica su primetili da se tački O na H-osi možemo približavati sa desne strane, uzimajući redom brojeve: 0,1 zatim 0,01 pa 0,001 itd. beskonačan niz koraka, sve manjih brojeva, a da za neko konačno vreme, tj. za neki konačan broj koraka ne možemo dostići tačnu vrednost nula. To je oblast tzv. infinitezimalnog računa, na engleskom kalkulus.

Aktuelna beskonačnost

Aktuelna beskonačnost je u matematiku ušla sa G. Kantorom i Dedekindom krajem XIX i početkom XX veka. Osnivači teorije skupova su primetili da prebrojavati nešto znači uspostaviti funkciju tzv. bijekciju - obostrano jednoznačno preslikavanje, između skupa prirodnih brojeva i predmeta koje brojimo. Kada brojimo loptice u nekoj kutiji, odvojimo prvu i kažemo jedan, zatim odvojimo drugu i kažemo dva, odvojimo treću - tri, itd. dok ne izvadimo poslednju lopticu iz kutije. Poslednji izgovoreni broj je broj loptica u kutiji, jer smo napravili relaciju gde sa tačno jednim od brojeva ide tačno jedna od loptica iz kutije. Osnivači teorije skupova su otišli i dalje i uporedili su po veličini neke poznate skupove. Međusobno su uporedili veličine skupova prirodnih, celih, racionalnih i iracionalnih brojeva. Broj elemenata skupa nazvali su kardinalni broj tog skupa.


wikipedija