Čudesna matematika

    (100+1)^2=10000+200+1=10201

13 je prirodni, prost broj koji se nalazi iza 12 i ispred 14.
može se napisati kao zbir dva prosta broja
13=11+2
On je sedmi Fibonočijeve broj
11 i 13 čine par blizanaca
11=6∗2−113=2∗7−1
13 je sretan broj

ako obrnemo cifre 

Ako ubacimo znak + između svih cifara gornje jednadačine jednačina i dalje vrijedi, tj.


broj 13 je najmanji prost broj koji se može izraziti kao zbir kvadrata dva prosta broja, tj.
Gdje su 2, 3, 13 prosti brojevi
Od broja 13 ako oduzmemo zbir njegovih cifri, dobićemo savršen kvadrat

Ako mu se tome doda proizvod cifara od 13 dobiće se savršeni kvadrat

Najmanji broj čiji je zbir cifara 13 je savršen kvadrat 49=72 i 4+9=13
Najmanji kvadrat koji ima zadnje tri cifre jednake je 1444. Zbir cifara ovog broja je također 13
1+4+4+4=13
Ako stavimo broj 13 i spred broja 31 (broj sa obrnutim ciframa ) , dobićemo broj 1331 koji je kubni broj

Ako kubu 133=2197 cifre poredamo na sljedeći način 1729 dobićemo čuveni Ramanujanov broj za koji vrijedi

kao kvadrat broja 13

169 sadrži više savršenih kvadrata u sebi. Zbir cifara broja 169 je potpuni kvadrat i kvadrat je zbira cifara originalnog broja

Cifre broja 169 podijelimo na dva dijela 16 i 9. Oba broja su savršeni kvadratni brojevi. Njihov zbir i proizvod su savršeni kvadrati


Broj 169 koji je savršen kvadrat može se izraziti kao zbir dva kvadrata

Broj 169 može se izraziti pomoću brojeva 16 i 9
169=(16+9)+(16∗9)
Zbir brojeva od 1 do 13 daje 91 što je najmanji broj koji se može izraziti kao zbir dva kuba i kao razlika dva kuba
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=13∗142=91


13 je jedini cijeli broj koji se uz svoju četvrtu potenciju može izraziti kao zbir dva uzastopna kvadrata



Recipročna vrijednost broja 13 je 1/13=0.076923076923076923...


Broj 076923 koji se neograničeno ponavlja. Ovaj broj 76923 jedan je od najzanimljivijih brojeva u matematici. Množenjem broja 76923 uzastopnim sadržiocima od 13, dobije se sljedeći obrazac

76923	x	13	=	0999999
76923	x	26	=	1999998
76923	x	39	=	2999997
76923	x	52	=	3999996
76923	x	65	=	4999995
76923	x	78	=	5999994
76923	x	91	=	6999993
76923	x	104	=	7999992
76923	x	117	=	8999991
76923	x	130	=	9999990

Zbir svih prostih brojeva do 13 jednak je 13. To je najveći takav broj.

1++2+4+7

Broj 13 se prvi put pojavljuje na 111.-om mjestu u decimalnom prikazu broja Pi

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944
  592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647
  093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559
  6446229489549303820...

zbir cifara prostih faktora od 111 je 13




Spajanjem kubova brojeva od 13 do 1 dobijamo broj 2197172813311000729512343216125642781

Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definisan sljedećom rekurzivnom relacijom:







Nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbir dvaju prethodnih. Prvi Fibonaccijevi brojevi A000045, također označeni kao F_n, za n=0,1, … , su:


0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040...


Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F₁ = 1, ali uobičajenije je uključiti F₀ = 0.


Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.


Ako znamo Fibonaccijeve brojeve  i  onda možemo naći broj  po formuli





Također imamo






Uopšteno




Binetova formula je eksplicitno izražavanje vrijednosti  kao funkcije od 

gdje je  zlatni presjek. U tom slučaju  и  su rješenja jednačine


 .
Iz Binetove formule za sve , slijedi da je  za  najbliže cijelom broju tj. 
Za  je


 .


Formula se može analitiči prikazati na sljedeći način

pri tome  vrijedi za svaki kompleksni broj


U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj  koji je korjen jednačine  i

Iz Binetove formule

Gdje je

Dalje imamo

i

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

Zadovoljena je i relaciija

Neka su  i  izabrani tako da je  i onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.
Brojevi  i  zafovoljavaju relaciju


Odnosno imamo

Uzimajući  i  kao početne varijable imamo

Odnosno
.
Posmatrajmo sada

Za , broj  najbliži cio broj je   , koji se može dobiti iz funkcije





ili





Slično ako je F>0 Fiboniccijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.



gdje se  može izračunati korištenjem logaritma druge baze


Primjer




Najveći zajednički djelitelj dva Fibonaccijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa
Posljedice


 je djeljiv sa  ako i samo ako je  djeljivo sa ( bez )


 je djeljivo sa  samo ako je 
 je djeljivo sa  samo ako je 
 je djeljivo sa  samo ako je 
 je prost ako je  prost broj sa isključenjem 





Obratno ne važi tj ako je  prost broj  ne mora biti prost





Njegov polinom  ima korjene  i 

1964 godine Cochn je dokazao da su u nizu Fibonaccijevih brojeva jedini kvadrati brojevi sa indeksom 0,,1,2,12 , , , 
Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je 

Prvih 21 Fibonaccijevih brojeva  za 

F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13	F14	F15	F16	F17	F18	F19	F20
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

• Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.
  

Niz brojeva  za 

F−8

F−7

F−6

F−5

F−4

F−3

F−2

F−1

F0

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

−21

13

−8

5

−3

2

−1

1

0

1

1

2

3

5

8

13

21

• 
  

 (см. рис.)




Opšte formule



, kao i ,
gdje matrice imaju oblik , i  je imaginarna jedinica.


Fibonaccijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma

Za bilo koji 

Posljedica



Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je




Fibonaccijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.
Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:


U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.