Čudesna matematika


Par matematičkih "čuda".

Nova matematička otkrića o prirodi brojeva

Stoljećima su neka od najvećih imena u matematici pokušala pronaći zakonitosti raščlanjivanja brojeva, što čini osnovu za dodavanje i računanje. Mnogi matematičari su uspjeli dodati poneki važni komadić u neriješenu slagalicu, ali je dugo nisu mogli popuniti.

Umjesto toga, njihov rad je sve dosad samo gomilao pitanja koja su ostajala bez odgovora u ovom temeljnom području matematike. Matematičar Ken Ono s Emory University je uspio pronaći rješenje, koje će ovih dana predstaviti javnosti. Ken Ono i njegovi suradnici su otkrili da se particijski brojevi ponašaju kao fraktali. Razriješili su svojstva raščlanjivanja brojeva na znamenke i razvili matematičku teoriju koja prikazuje neograničeno ponavljanje takvog svojstva. Također su došli do formule, koja omogućava izračunavanje broja dijelova na koji se može raščlaniti bilo koji broj. Ken Ono će svoje otkriće prikazati u Emory kampusu. “Pokazali smo da su particijski brojevi fraktali za bilo koja dva broja bez zajedničkog djelitelja. Naš postupak rješava veliki broj ranijih matematičkih dvojbi.”

Rad je financirao Američki institut za matematiku i Nacionalna zaklada za znanost. Vodeći istraživač Ken Ono radi kao profesor na dva sveučilišta, Emory i University of Wisconsin u Madisonu. Njegovi suradnici na radu su Jan Bruinier, s Technical University of Darmstadtu u Njemačkoj, Amanda Folsom, Yale i Zach Kent, poslijedoktorski studenti na Emory University. “Otkrića Ken Ona u teoriji raščlambe brojeva su izvanredna”, smatra George Andrews, profesor na Pennsylvania State University i predsjednik društva American Mathematical Society. “On je otkrio svojstva osnovnih particijskih funkcija.” Površno gledano raščlamba brojeva čini se poput dječje igre. Particijom broja dobiva se niz pozitivnih cijelih brojeva koji zbrajanjem daju raščlanjeni broj. Na primjer, 4 = 3 +1 = 2 +2 = 2 +1 +1 = 1 +1 +1 +1. Stoga kažemo da postoji 5 particija broja 4. Broj particija za broj 10 je 42. Broj 100 ima 190 milijuna particija. “Raščlambom brojeva dolazimo do izuzetno velikih cijelih brojeva”, navodi Ono.

Po definiciji, particijski brojevi su jednostavni. No, do ovog otkrića matematičari nisu razumijevali složene zakonitosti koje određuju njihov veliki broj. Rad matematičara Leonharda Eulera iz 18. stoljeća je donio prvu rekurzivnu tehniku za računanje particijskih vrijednosti brojeva. Metoda je bila spora i posebno nepraktična za velike brojeve. U sljedećih 150 godina, uz njezinu pomoć su izračunate particije prvih 200 brojeva. “U matematičkom svemiru, to se može usporediti s nemogućnošću promatranja zvijezda na većim udaljenostima od Marsa,” objašnjava Ono. U ranom 20. stoljeću, Srinivasa Ramanujan i GH Hardy su razvili metodu, koja daje aproksimacijske particijske vrijednosti brojeva većih od 200. Aproksimacijske vrijednosti su korištene u nedostatku preciznijih.

“Ovo postignuće možemo usporediti s Galilejevim izumom teleskopa, koji je omogućio da vidimo dalje od onoga što može ljudsko oko, premda ponekad nedovoljno za naše želje,” kaže Ono. Ramanujan je također uočio neobične zakonitosti particijskih brojeva. U 1919. on je napisao: “izgleda da su kod particijskih brojeva bitni moduli potencija broja 5, 7 ili 11 … bez jednostavnih svojstva za bilo koji modul uključuju neparne brojeve bez zajedničkog djelitelja, osim tri navedena.” Legendarni indijski matematičar umro je u dobi od 32 godine prije nego što je mogao objasniti što je mislio ovim tajanstvenim navodom, sada poznatim kao Ramanujanova kongruencija. Godine 1937, Hans Rademacher je došao do formule za izračunavanje particijskih vrijednosti. Metoda je donijela veliki napredak u odnosu na Eulerovu formulu, premda je zahtijevala mnogo zbrajanja i rad s velikim brojem decimala.

“To je bilo vrlo nepraktično,” kaže Ono. U nadolazećim desetljećima, bilo je sve više matematičkih otkrića, koja su upotpunjavala slagalicu. Ken Ono i njegov tim su dugo radili na problemu bez pravih rezultata. Otkriće je uslijedilo slučajno, tijekom planinarskog uspona matematičara na Tallulah Falls u sjevernoj Georgiji. Dok su hodali šumom Ono i Zach Kent su promatrali raspored stabala u šumi, što ih je nadahnulo za razumijevanje odnosa među particijskim brojevima. “Stojeći uz ogromnu stijenu, na mjestu s kojeg je pucao pogled na cijelu dolinu uz huk vode sa slapa, mi smo shvatili da su particijski brojevi fraktali”, objašnjava Ono. “To nas je ispunilo oduševljenjem.” Pojam fraktala je 1980. uveo Benoit Mandelbrot, da bi opisao ono što se čini kao nepravilnost u geometriji prirodnih oblika. Kada pozorno promatramo naizgled grube prirodne oblike, uočavamo da se oni zapravo sastoje od ponavljajućih uzoraka. Ne samo da su fraktali prekrasni, one imaju i ogromnu praktičnu vrijednost u vrlo različitim područjima od umjetnosti do medicine.

Planinarenje znanstvenika je pokrenulo teoriju nove klase fraktala, onih koji se bave s problemom beskonačnosti. “Ako to usporedimo sa svemirom, to je kao da gledamo zvijezde, a pritom slutimo da se daleko u svemirskim prostranstvima nalaze i mnoge druge nama nevidljive, jer nam je poznat uzorak po kojem se one raspoređene”, kaže Ono. Teorija fraktala pomaže u objašnjavanju Ramanujanove kongruencije. Ono i tim suradnika su također pokazali da djeljivost particija čine fraktali. “Sve sekvence su periodične i ponavljaju se u preciznim intervalima,” navodi Ono.

“To je kao povećani Mandelbrot set”, dodaje Ono, aludirajući na najpoznatije fraktale. Ovaj izuzetan pogled u zakonitosti particijskih brojeva bio je tek početak. Tim matematičara se odlučio uzdignuti nad teorijske zamisli i pronaći formulu koja vrijedi u stvarnom svijetu. Trenutak otkrića se dogodio na povratku s planinarenja. Ono i Jan Bruinier su zapeli u prometu u blizini prometnog čvora Atlanta. Tijekom dugog razgovora u automobilu, došli su do zamisli kako pojednostaviti Rademacherovu metodu. Nastavak rada je dao formulu koja za svaki broj može odrediti broj fraktala.

Izvor: Emory University
Izvor: .znanost.com

Broj Pi izračunat na rekordnu 2,7 trilionitu decimalu!

Kompjuterski stručnjak Fabrice Bellard je izračunao 2,7 trilionitu decimalnu cifru broja π i
tako oborio dosadašnji rekord za 126 milijardi decimalnih mesta. Za ovaj poduhvat mu je
trebao 131 dan.

Prethodni rekord je postavio Daisuke Takahashi (Tsukuba univerzitet, Japan) u avgustu
2009. godine za šta mu je trebalo 29 sati. Koristio je superračunar koji je 2000 puta brži
od Bellard-ovog kućnog računara.

"Svoju prvu knjigu o broju π sam napisao sa 14 godina i od tad sam napredovao rušeći
različite računske rekorde. Ipak, za sam broj π nisam posebno zainteresovan premda
aritmetika preciznosti velikih brojeva ima veoma malo praktične primjene. Dosta
interesantniji je korišteni algoritam izračunavanja koji može imati primenu i u nekim
drugim oblastima", rekao je Bellard koji planira da objavi verziju svog računskog programa.

U svom članku Ivars Peterson kaže kako je "i sam Njutn izračunavao cifre broja π,
potrošio dosta vremena koristeći formule do kojih je samostalno došao kako bi izračunao
još dodatnih nekoliko cifara. Broj π ima tačno određenu sekvencu cifara i ako vam
računar ne radi besprekorno neki od dobijenih brojeva će biti pogrešni".

Pi ili π je matematička konstanta, danas široko primenjivana u matematici i fizici. Njena
približna vrednost je 3,14159, a definiše se kao odnos obima i prečnika kruga ili kao
odnos površina kruga i kvadrata nad njegovim poluprečnikom. Pi je takođe poznat i kao
Arhimedova konstanta (ne treba je mešati sa Arhimedovim brojem) ili Ludolfov broj. U
praksi se beleži malim grčkim slovom π a u srpskom jeziku je pravilno pisati i pi. Oznaka
za broj pi potiče od grčke reči perimetar (περίμετρος). Pi je u matematiku uveo Vilijam
Džouns 1707. godine, a popularizovao je Leonard Ojler 1737. godine.

Numerička vrednost pi zaokružena na 64 decimalna mesta je:

π ≈ 3,141592653589793238462643383279502884197169399375 1058209749445923

Pi je iracionalan broj, što znači da se njegova vrednost ne može izraziti preko razlomaka.
Zbog toga njegov decimalni zapis nema kraja i nije periodičan.

Zanimljivosti brojeva

37 * 3 = 111
37 * 6 = 222
37 * 9 = 333
....
....

37 * 24 = 888
37 * 27 = 999