Zanimljive priče o matematičarima

Thales iz Mileta



Tales iz Mileta je, slažu se povjesničari, prvi grčki filozof, znanstvenik i matematičar, iako je po zanimanju bio inžinjerske struke.

Tales znanstvenik
Zabilježeno je da je Tales predvidio pomrčinu sunca 585. godine prije Krista. Predviđanje pomrčine mjeseca onda je bilo uobičajeno, ali je bilo teško izreći kada će biti pomračina sunca, budući da se ta pojava nije mogla vidjeti sa svih dijelova na Zemlji.

Dosjetljivi Tales
Postoji nekoliko kasnijih zapisa o tome kako je Tales izračunao visinu piramida. Za sunčana dana čekao je trenutak kada će sjena svih predmeta (npr. štapa kojeg je zabio u pijesak pokraj piramide) biti jednaka njihovoj visini. To je onda primijenio i na piramidu i preko sjene izračunao njenu visinu.

Pouzdani Tales logičar
Ipak, ono najvažnije što mu matematičari pripisuju, jest činjenica da je Tales prvi dao logičke temelje dokazivanju teorema. Drugim riječima, Tales je prvi naglasio da nije dovoljno samo opažati pojave, već ih i dokazati.

U mnogim knijgama o povijesti matematike pripisuju mu se ovi teoremi iz geometrije:

· Dijametar dijeli krug na dva jednaka dijela.

· Kutevi uz bazu jednakokračnog trokuta su jednaki.

· Kutevi između dva pravca koji se sijeku su jednaki (misli se na vršne kuteve).

· Dva su trokuta sukladna ako imaju jednaka dva kuta i jednu stranicu.

· Kut na polukružnici je pravi kut.

Tales pomorac
Posljednji navedeni teorem danas nazivamo Talesovim teoremom. Tales je također svojim matematičkim opažanjima dao doprinos i nautici. Između ostalog, našao je metodu kako izračunati udaljenost brodova od obale.

Rastreseni Tales
Platon spominje priču kako je jedne noći Tales pješačio promatrajući nebo. Ne gledajući u nebo i ne pazeći kamo staje, pao je u jarak. Zgodna mlada služavka mu je pomogla izaći iz jarkai rekla mu: "Kako očekuješ da ćeš razumjeti što se događa gore ne nebu kada ne vidiš ni što ti je pod nogama?!". Ovo je vjerojatno prva zapisana šala u povijesti na račun rastresenih profesora...

PITAGORA iz Samosa




Pitagora matematičar

Pitagora iz Samosa često se prikazuje kao prvi "pravi" matematičar. On je vrlo važna osoba koja je doprinijela razvoju matematike, iako u biti znamo malo o njegovom matematičkom radu

Pitagora bogati učitelj

Pitagora je rođen na grčkom otoku Samosu (danas taj otok pripada Turskoj), kao sin bogatog i zaslužnog trgovca s kojim je mnogo putovao. Na Samosu osniva školu, pod nazivom "polukrug", koja je i stoljećima kasnije mještanima otoka služila kao okupljalište mislioca.

Strogi Pitagora

Ustanovio je matematičku školu u kojoj su učenici obdržavali stroga pravila družbe. Školu danas nazivamo Pitagorejskom školom, a njegove sljedbenike Pitagorerjcima. Ono što je sigurno, je da je njegova škola dala velik doprinos matematici.

Pitagora voli brojeve

Pitagorejce su zanimale osnove matematike, pojam broja, trokuta i ostalih matematičkih likova, te apstraktna ideja dokaza. Pitagora je vjerovao da se sve relacije i odnosi mogu svesti na operacije s brojevima, da se sve oko nas i cijeli svemir može objasniti brojevima. Do toga su zaključka došli nakon mnogih opažanja u muzici, matematici i astronomiji. Pitagora je proučavao svojstva prirodnih brojeva koja su i dan danas poznata, kao na primjer parni i neparni brojevi, savršeni brojevi itd. Po njemu, svaki broj ima čak i svoje osobine: muški i ženski, savršen ili nepotpun, lijep ili ružan. Postojao je i najbolji od svih brojeva: broj 10, kojeg su prepoznali kao zbroj prva četiri prirodna broja (1 + 2 + 3 + 4 = 10)

Pitagora muzičar

Poznato je Pitagorino opažanje da žice glazbala proizvode tonove u harmoniji kada su koeficijenti duljina tih žica cijeli brojevi. Pitagora je jako pridonio stvaranju matematičke teorije muzike. Bio je vrstan muzičar, svirao je liru i koristio je muziku kao sredstvo liječenja bolesnika (muzikoterapija).

Pitagorin teorem

Naravno, mi danas pamtimo Pitagoru po poznatom Pitagorinom poučku. Iako je taj poučak nazvan po Pitagori, on je bio poznat još i starim Babiloncima 1000 godina prije nego što se Pitagora rodio.


Evo poznatijih tvrdnji koje su dokazali Pitagora i Pitagorejci:

Zbroj kuteva u trokutu jednak je kao dva prava kuta.

Kvadrat na hipotenuzi jednak je zbroju kvadrata na ostale dvije stranice u pravokutnom trokutu (Pitagorin puočak).
Primijetimo ovdje da Pitagorejcima "kvadrat" nije označavao množenje duljine stranice sa samom sobom, već je označavao jednostavno geometrijski lik kvadrat konstruiran na stranici. Činjenica da je zbroj dva kvadrata jednak trećemu, značila je da se dva kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se može složiti jedan kvadrat koji je sukladan kvadratu nad hipotenuzom.


Otkriće iracionalnih brojeva. Pitagorejci su čvrsto vjerovali da se sve može prikazati u obliku broja, pri čemu je svaki broj kvocijent dva cijela broja. Međutim, kada su pokušali izmjeriti hipotenuzu jednakokračnog pravokutnog trokuta, došli su do zaključka da se ona ne može prikazati kao kvocijent dva cijela broja i to ih je užasnulo. Zapravo, činjenica da postoje brojevi koji se ne mogu prikazati kao omjer dva prirodna broja toliko ih je osupnula da su tu tvrdnju čuvali u dubokoj tajnosti kako ne bi izašla na vidjelo.


Pet pravilnih geometrijskih tijela (Platonova tijela). Smatra se da je sam Pitagora znao kako konstruirati prva tri pravilna tijela, ali ne i posljednja dva.

Pitagora astronom

U astronomiji je Pitagora poučavao da je Zemlja kugla u središtu Svemira. On je također prepoznao da se Mjesečeva putanja nalazi pod kutom u odnosu na Ekvator. On je također bio jedan od prvih koji je primijetio da je Venera kao večernja zvijezda bila isti planet kao Venera kao jutarnja zvijezda.

Nesebični Pitagora

Što se moralnog života Pitagorejaca tiče, i tu su imali svoja pravila. Pitagora je, naime, njegovao i promicao prijateljstvo, nesebičnost i iskrenost.

Pitagorina škola

I nakon Pitagorine smrti Pitagorejska škola je još dugo bila na okupu. Nakon 500. god. pr. Kr. škola se sve manje bavila znanošću, a sve više politikom i zato se uskoro rascijepkala na grupice. Godine 460. pr. Kr. škola je naprasno zatvorena, a za Pitagorejcima je ostao do danas bogat plod njihovog izučavanja astronomije, aritmetike i geometrije.

Karl Fridrih Gaus



Karl Fridrih Gaus (30.april 1777-23.februar 1855) još je sa dve godine bio čudo od deteta, o čemu svedoče brojne anegdote koje se tiču njegove zaprepašćujuće prerane zrelosti. Do svojih prvih matematičkih otkrića došao je kao tinejdzer. Prvi je rešio problem konstrisanja pravilnog 17-tougla samo lenjirom i šestarom. Završio je Aritmetička istraživanja, svoje najpoznatije delo, kao dvadesetjednogodišnjak, 1798. Iako je knjiga objavljena tek 1801.. Bila je kamen temeljac za zasnivanje teorije brojeva kao posebne matematičke discipline, a dao joj je oblik koji ima i danas. U njoj je uveo relaciju kongruencije, što je svakako olakšalo rešavanje mnogih problema.

Gaus je rano pokazao svoju matematičku darovitost. Poznata je anegdota koja kaže da je jednom prilikom Gausov učitelj zadao da se saberu svi brojevi od 1 do 100,verovatno da bi „zaposlio učenike“. Na njegovo veliko iznaneđenje, Gaus, koji je tada imao 7 godina, odmah je doneo rezultat 5050. Evo kako je mladi matematičar to rešio: posmatrajući niz 1,2,3,4,….97,98,99,100, čije je članove trebalo sabrati, uočio je izvesnu zakonitost: kada se spari 1 i 100, 2 i 99, 3 i 98….uvek se dobije zbir 101. Takvih parova ima tačno 50. Otuda je traženi zbir jednak 50*101=5050. Ovaj postupak nazvan je Gausov postupak.

Tokom svog bogatog i istraživanju posvećenog života Arhimed je imao dosta radova. Za razliku od tadašnjih mislilaca koji su se bavili naukom u apstraktnom smislu, Arhimed je preferirao praktične radove. Zbog toga nije na velikom broju radova stavljao svoju oznaku- Čak je za sebe govorio da ga je sramota što ga interesuju druge oblasti osim matematike. Bavio se ne samo matematikom, već i astronomijom i fizikom. Njegova genijalnost je bila nadaleko čuvena. Čak je Sirakuški vladar Hijeron II bio oduševljen i poverio mu važne zadatke (kao što je da utvrdi dali se njegova kruna sastoji samo iz zlata ili i iz srebra, da smisli i napravi oružja za odbranu grada …).



II Punski rat se završio porazom Sirakužana i to na neobičan način, a najviše zahvaljujući lukavosti Rimskog komadanta Marcela (zvanog Rimski Mač). Građani Sirakuze su bili prilično potišteni zbog neočekivanog poraza nakon mnogo godina uspešnog odolevanja neprijatelju uz pomoć Arhimedovog oružja. Arhimed je bio skoro jedina osoba koja je i dalje bila okupirana svojim istraživanjima kao i pre rata. Jednog dana, kada je rimski vojnik zgazio njegov crtež koji je nacrtao na zemlji, Arhimed je uzviknuo: „Ne kvari mi krugove!“. Vojnik se uvredio zbog ovog komentara i isukao mač. Tako se završio život ovog sedamdesetpetogodišnjaka koji je čitav život posvetio proučavanju i istraživanju.



Njegov doprinos nauci je ogroman i navešćemo samo par primera koji je većini ljudi poznat: broj pi (π), zapremina i površina lopte, zakon poluge, zakon o telima potopljenim u tečnost, pužna pumpa, katapult… Veliki broj njegovih izuma je našao primenu u skoro svemu – od poljoprivrednih alatki do oružja.



Jedno od njegovih najinteresantnijih izuma koji su našli svoju primenu kao oružje u tadašnjoj vojsci Sirakuze, bilo je „Arhimedovi toplotni zraci“. To je bio uređaj na kome se nalazilo jedno šestostrano i drugo, manje, četvorostrano ogledalo, koja su odbijala sunčevu svetlost u jedno centralno žarište. Arhimed je, nakon proučavanja parabola, došao do saznanja o žarištu konkavnih ogledala i znao je da može da se koristi za koncentrisanje sunčeve energije i tako iznezadi neprijatelj. Pomoću tog uređaja uspešno su spaljivali neprijateljske brodove koji bi se približili utvrđenju. Svoju primenu je našao u II Punskom ratu protiv Rimljana Mit govori da je domet bio jednak dometu ispaljene strele (nekih 50-ak metara).



U modernim vremenima bilo je puno diskusija i pokušaja da se Arhimedov podvig ponovi. Rene Dekart je odbacio mit o toplotnim zracima kao netačan. Diskusije su ukazivale da je Arhimed koristio ogledala od polirane bronze i bakra. Ogledalo se koristi još od davnih vremena. Ljudi su mnogo godina kasnije (možda negde u XVIII veku, nisam siguran) tek smislili ogledalo kakvo danas znamo. Do tad su koristili polirani metal kao ogledalo.

Prvi eksperiment je obavljen 1973. godine od strane Grka Sakasa. Ekspeiment se odigrao u blizini Atine. Koristio je 70 ogledala dimenzija 1,5×1 m. Ogledala su bila okrenuta ka kopiji Rimskog ratnog broda na udaljenosti od oko 50 m (dometa strele prema mitu). Kada su sva ogledala dobro i precizno fokusirana, brod se zapalio u roku od par sekundi. Brod je u sebi sadržao katran pa su smatrali da je on dosta pomogao paljenju vatre.



U dve epizode Razbijača mitova (Mythbusres) Adam i Džejmi su probali da utvrde istinitost ovog mita. U prvoj epizoda (januar 2006.) Adam je napravio ogledalo koje se sastojalo iz velikog broja manjih ogledala na šestougaonom parčetu šperploče. Ogledala su mogla da menjaju svoj ugao u odnosu na šperploču i na taj način su uspeli da upere svetlost sa svih ogledala na jednu tačku. Koristili su ručno pravljen model Rimskog broda (naravno manjih dimenzija) koji su pravili uz pomoć stručnjaka iz oblasti brodogradnje i svog snimatelja (inače zaljubljenika u brodove). Eksperiment se odigrao u San Francisku. Eksperiment nije uspeo i mit su proglasili provaljenim (busted) jer vremenski uslovi nisu odgovarali, kao i zbog nedostatka vremena.

Kasnije su zajedno sa ljudima sa MIT instituta ponovili eksperiment, ovog puta uspešno. Koristili su specijalna ogledala koja su podsećala na ogledala iz mita koje je Arhimed konstruisao. Rezultat eksperimenta je bio dim i manja količina plamena. Došli su do zaključka da je potrebno da se drvo zagreje do 300oC kako bi se zapalilo i za to je potrebno dosta vremena. Ukazali su da u vremenu II Punskog rata da bi oružje uspešno funkcionisalo Rimljani bi morali da napadnu u jutarnjim satima jer je tad moguđe prikupiti najveću količinu sunčeve energije i usperiti je na brodove (zbog položaja same Sirakuze). Takođe su ukazali da je jednostavnije koristiti vatrene strele ili vatrenu kuglu sa katapulta kako bi se zapalio brod sa manje udaljenosti.